極限的知識當lim(x->a)f(x)=f(a),那麼稱f(x)在a點連續同樣,若|f(x)|在a點連續,那麼lim(x->a)|f(x)|=|f(a)|即當x趨於a時,|f(x)|-|f(a)|趨於0所以得到式子||f(x)|-|f(a)||

y=|x|=√x² 顯然是由基本初等函式中的冪函式複合而成的。

外層函式是y=√t 內層函式是t=x² 因為基本初等函式在其定義區間內連續，且經過有限次數的複合運算之後所得的初等函式依然是連續。所以y=|x|在其定義區間內連續。

x的絕對值在定義區間是連續的。這可以從函式影象上看出來，當x小於零時，X的絕對值是它的相反數，因此函式影象在座標軸上處於第二象限，是一條與x軸成45度角的斜線，當x大於等於零時，X的絕對值是它本身，函式影象是第一象限裡和x軸成45度角的斜線。這樣就可以看出函式影象是一個v字型，中間沒有斷點，是連續的。

用定義，證明x→x0時，|f(x)|→|f(x0)|。因為：0≤||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|→0（函式f(x)在x=x0處連續，則x→x0時，f(x)→f(x0)）。所以x→x0時，|f(x)|→|f(x0)|，即|f(x)|在x=xo點處也連續