(arctanx)'=1/(1+x^2)
=∑(-x^2)^n 【n從0到∞】
=∑(-1)^n·x^(2n) 【n從0到∞】
兩邊積分，得到
arctanx=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1) 【n從0到∞】
泰勒公式 ：
在數學中，泰勒公式是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠光滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。
公式推導：
泰勒公式在x=a處展開為
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
設冪級數為f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a則a0=f(a)
將①式兩邊求一階導數，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
對②兩邊求導，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
繼續下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a處的泰勒公式為：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
應用：用泰勒公式可把f(x)展開成冪級數，從而可以進行近似計算，也可以計算極限值，等等。
另外，一階泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介於a與b之間
(arctanx)'=1/(1+x^2)
=∑(-x^2)^n 【n從0到∞】
=∑(-1)^n·x^(2n) 【n從0到∞】
兩邊積分，得到
arctanx=∑(-1)^n/(2n+1)·x^(2n+1) 【n從0到∞】
泰勒公式 ：
在數學中，泰勒公式是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠光滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。
公式推導：
泰勒公式在x=a處展開為
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
設冪級數為f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a則a0=f(a)
將①式兩邊求一階導數，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
對②兩邊求導，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
繼續下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a處的泰勒公式為：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
應用：用泰勒公式可把f(x)展開成冪級數，從而可以進行近似計算，也可以計算極限值，等等。
另外，一階泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介於a與b之間