秩小於n的n階矩陣的行列式一定為零。

當m不等於n時，mxn矩陣沒有行列式。

任何方陣都可以透過初等行變換轉化為上三角陣。

上三角陣的行列式為0當且僅當主對角線上的元素中有0。

n階上三角陣的秩 = n - 主對角線上0的個數。

初等行變換 = 左乘(可逆)初等矩陣。於是初等行變換保秩，並且使得變換前後的矩陣的行列式同為0或同不為0。

這樣，A的行列式為0當且僅當對應的上三角陣秩小於n，也即A的秩小於n。

對於一個n階的n*n矩陣A來說，

如果其行列式|A|=0，

則說明矩陣的秩小於n，即非滿秩矩陣

而如果|A|≠0，無論是大於還是小於0，

都說明矩陣的秩就等於n

實際上行列式|A|=0，

就說明矩陣A在經過若干次初等變換之後存在元素全部為0的行，

所以其秩R(A)<n< p="">

而行列式|A|≠0，即經過若干次初等變換之後不存在元素全部為0的行，

其秩R(A)=n

矩陣的秩小於3，說明矩陣的最簡行階梯有一行為全零，根據行列式的性質，可知此時行列式為零，上三角的形式

首先，這個矩陣要有行列式，也就是說，它是個n行n列的矩陣，不然連行列式都沒有，更談不上行列式的數值。

再次，n行n列情況下，秩小於未知數個數，是為零。