a+b+c=(3∧√a)^3+(3∧√b)^3+(3∧√c)^3≥3(3∧√a)(3∧√b)(3∧√c),即:a+b+c≥3*3∧√abc 先證兩個數的情形; (a+b)/2>=√(ab)

.(1) (1)(√a-√b)^2>=0(顯然成立) 再證四個數的情形; (a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4)(2) 反覆應用(1)得 (a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2 >=(√(ab)+√(cd))/2>=√[√(ab)√(cd)] =(abcd)^(1/4). 最後證三個數的情形; (a+b+c)/3>=(abc)^(1/3). 在(2)中取d=(a+b+c)/3,得 (a+b+c+(a+b+c)/3)/4>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4), 即(a+b+c)/3>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4), 兩邊4次方,並約去(a+b+c)/3得 [(a+b+c)/3]^3>=abc, 兩邊開立方,得 (a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)

均值不等式的推導過程：

∵a^2+b^2 -2ab =(a-b)^2≥ 0

∴a^2+b^2 ≥ 2ab （當且僅當a=b時等號成立）

當a、b都是正實數時，(a+b)/2 ≥√(ab)。

證明過程：

∵a+b=(√a)^2+(√b)^2≥2(√a)(√b)=2√(ab)

∴(a+b)/2 ≥√(ab)

特點

不等式兩邊相加或相減同一個數或式子，不等號的方向不變。（移項要變號）不等式兩邊相乘或相除同一個正數，不等號的方向不變。（相當係數化1，這是得正數才能使用）

不等式兩邊乘或除以同一個負數，不等號的方向改變。（÷或×1個負數的時候要變號）

把每個不等式的解集在數軸上表示出來，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那麼這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。