1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。 證明過程： 根據立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，則有： a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1 a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1 a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1 a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1 . · · a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1 等式兩邊相加： （n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1） 3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1） 3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n 6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2] =(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1) 所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。

解答：1的平方加2的平方加到n一1的平方等於

n（n一1）（2n一1）／6。

這道題是求自然數平方的和的問題，可用公式求解，要注意的是這裡和的項數為n一1。

∴1的平方十2的平方十………十（n一1）的平方

＝（n一1）〈（n一1）十1〉〈2（n一1）十1〉／6

＝（n一1）（n一1十1）（2n一2十1）／6

＝n（n一1）（2n一1）／6