y=ax²+bx+c=a(x²+bx/a)+c=a[(x+b/2a)²-b²/4a²]+c=a(x+b/2a)²-b²/4a+c

=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a

因此頂點座標為（-b/2a,(4ac-b²)/4a)

一元二次方程頂點座標:[-b/2a,(4ac-b²)/4a]。頂點座標是用來表示二次函式拋物線頂點的位置的參考指標,頂點式:y=a(x-h)²+k(a≠0,k為常數)。

解：y=ax²+bx+c=a(x²+bx/a)+c=a[(x+b/2a)²-b²/4a²]+c=a(x+b/2a)²-b²/4a+c

=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a

因此頂點座標為（-b/2a，(4ac-b

一、基本簡介

　　一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函式叫做二次函式，其中a稱為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。x為自變數，y為因變數。等號右邊自變數的最高次數是2。

　　主要特點

　　“變數”不同於“未知數”，不能說“二次函式是指未知數的最高次數為二次的多項式函式”。“未知數”只是一個數（具體值未知，但是隻取一個值），“變數”可在一定範圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函式方程、微分方程中是未知函式，但不論是未知數還是未知函式，一般都表示一個數或函式——也會遇到特殊情況），但是函式中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。從函式的定義也可看出二者的差別.如同函式不等於函式關係。

　　二次函式影象與X軸交點的情況

　　當△=b2-4ac>0時，函式影象與x軸有兩個交點。

　　當△=b2-4ac=0時，函式影象與x軸只有一個交點。

　　當△=b2-4ac<0時，函式影象與x軸沒有交點。

二、二次函式影象

　　在平面直角座標系中作出二次函式y=ax^2+bx+c的影象，可以看出，二次函式的影象是一條永無止境的拋物線。如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函式影象將是由一般式平移得到的。

　　軸對稱

　　二次函式影象是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a

　　對稱軸與二次函式影象唯一的交點為二次函式影象的頂點P。

　　特別地，當b=0時，二次函式影象的對稱軸是y軸（即直線x=0）。

　　a,b同號，對稱軸在y軸左側.

　　a,b異號，對稱軸在y軸右側.

頂點

　　二次函式影象有一個頂點P，座標為P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a).

　　當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y=a(x-h)2+k。

　　h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a。

　　開口方向和大小

　　二次項係數a決定二次函式影象的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則二次函式影象的開口越小。

　　決定對稱軸位置的因素：

　　一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號

　　當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小於0，所以a、b要異號

　　可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。

　　事實上，b有其自身的幾何意義：二次函式影象與y軸的交點處的該二次函式影象切線的函式解析式（一次函式）的斜率k的值。可透過對二次函式求導得到。

　　決定與y軸交點的因素：

　　常數項c決定二次函式影象與y軸交點。

　　二次函式影象與y軸交於（0,C）

　　注意：頂點座標為（h,k)，與y軸交於（0,C)。

與x軸交點個數

　　a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函式影象與x軸有2個交點。

　　k=0時，二次函式影象與x軸只有1個交點。

　　a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函式影象與X軸無交點。

　　當a>0時，函式在x=h處取得最小值ymin=k，在x<h範圍內是減函式，在x>h範圍內是增函式（即y隨x的變大而變小），二次函式影象的開口向上，函式的值域是y>k

　　當a<0時，函式在x=h處取得最大值ymax=k，在x<h範圍內是增函式，在x>h範圍內是減函式（即y隨x的變大而變大），二次函式影象的開口向下，函式的值域是y<k

　　當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式

三、二次函式公式彙總：交點式、兩根式

　　一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：

　　（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0），則稱y為x的二次函式。頂點座標（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）

　　（2）頂點式：y=a（x-h）2+k或y=a（x+m）^2+k（a，h，k為常數，a≠0）。

　　（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）

　　（4）兩根式：y=a（x-x1）（x-x2），其中x1，x2是拋物線與x軸的交點的橫座標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.

　　說明：

　　（1）任何一個二次函式透過配方都可以化為頂點式y=a（x-h）2+k，拋物線的頂點座標是（h，k），h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上；當k=0時，拋物線a（x-h）2的頂點在x軸上；當h=0且k=0時，拋物線y=ax2的頂點在原點。

　　（2）當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應二次方程ax2+bx+c=0有實數根x1和x2存在時，根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），二次函式y=ax2+bx+c可轉化為兩根式y=a（x-x1）（x-x2）。