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  • 1 # 使用者223912332100333

    燕尾定理,因此圖類似燕尾而得名,是五大模型之一,是一個關於三角形的定理(如圖△ABC,D、E、F為BC、CA、AB 上點,滿足AD、BE、CF 交於同一點O)。

    S△ABC中,S△AOB:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD;

    同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF;

    S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△AEO=EC:AE。

    證法1

    下面的是第一種方法:利用分比性質(若a/b=c/d,則(a-b)/b=(c-d)/d,[1]b≠0,d≠0,)[2]

    (注:∵(a-b)/b=a/b-b/b=a/b-1,

    (c-d)/d=c/d-d/d=c/d-1,

    a/b=c/d

    ∴(a-b)/b=(c-d)/d

    ∵△ABD與△ACD同高

    ∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

    同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD

    利用分比性質,得

    S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD

    即S△AOB:S△AOC=BD:CD

    命題得證。

    證法2

    下面的是第二種方法:相似三角形法

    證法1圖

    已知:△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O,連線並延長BO,交AC於點E。

    求證:AE=CE 證明:

    如圖,過點O作MN∥BC,交AB於點M,交AC於點N;

    過點O作PQ∥AB,交BC於點P,交AC於點Q。

    ∵MN∥BC

    ∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD

    ∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD

    ∴MO:BD=NO:CD

    ∵AD是△ABC的一條中線

    ∴BD=CD

    ∴MO=NO

    ∵PQ∥AB

    ∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF

    ∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF

    ∴PO:BF=QO:AF

    ∵CF是△ABC的一條中線

    ∴AF=BF

    ∴PO=QO

    ∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO

    ∴△MOP≌△NOQ(SAS)

    ∴∠MPO=∠NQO

    ∴MP∥AC(內錯角相等,兩條直線平行)

    ∴△BMR∽△BAE(R為MP與BO的交點),△BPR∽△BCE

    ∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE

    ∴MR:AE=PR:CE

    ∵MN∥BC,PQ∥AB

    ∴四邊形BMOP是平行四邊形

    ∴MR=PR(平行四邊形的對角線互相平分)

    ∴AE=CE

    命題得證。

    證法3

    下面的是第三種方法:面積法

    已知:△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O,連線並延長BO,交AC於點E。

    求證:AE=CE

    證明:

    如圖,

    ∵點D是BC的中點,點F是AB的中點

    ∴S△CAD = S△BAD,S△COD = S△BOD

    ∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD

    即S△AOC(綠) = S△AOB(紅)

    ∵S△ACF = S△BCF,S△AOF = S△BOF

    ∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF

    即S△AOC(綠) = S△BOC(藍)

    ∴S△AOB(紅) = S△BOC(藍)

    ∵S△AOE:S△AOB(紅) = OE:OB,S△COE:S△BOC(藍) = OE:OB

    ∴S△AOE:S△AOB(紅) = S△COE:S△BOC(藍)

    ∵S△AOB(紅) = S△BOC(藍)

    ∴S△AOE = S△COE

    ∴AE=CE

    命題得證。

    證法4

    下面的是第四種方法:中位線法

    已知:△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O,連線並延長BO,交AC於點E。

    求證:AE=CE

    證明:

    如圖,延長OE到點G,使OG=OB。

    ∵OG=OB

    ∴點O是BG的中點

    又∵點D是BC的中點

    ∴OD是△BGC的一條中位線

    ∴AD∥CG(三角形的中位線平行於第三邊,且等於第三邊的一半)

    ∵點O是BG的中點,點F是AB的中點

    ∴OF是△BGA的一條中位線

    ∴CF∥AG

    ∵AD∥CG,CF∥AG

    ∴四邊形AOCG是平行四邊形

    ∴AC、OG互相平分

    ∴AE=CE

    命題得證。

    證法5:因為ABCO是凹四邊形,根據共邊比例定理,命題得證

    推廣:共邊比例定理

    四邊形ABCD(不一定是凸四邊形),設AC,BD相交於E

    則有BE :DE=S△ABC :S△ADC

    此定理是面積法最重要的定理

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