四點共圓就是首先這四個點是在同一平面上，在平面上若能找到一個圓，使這個圓透過這四個點，就可以稱這四點共圓。證明四點共圓的條件有四種。 四點中三點作一圓，另一點在這個圓上。四個點連成共底邊的兩個三角形，兩三角形都在這底邊的同側，其頂角相等。四點連成四邊形，對角互補或其一個外角等於其鄰補角的內對角。四點到某一定點的距離都相等。

圓：

圓的標準方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三個引數a、b、r，即圓心座標為(a，b)，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個獨立條件，其中圓心座標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。

考慮R關於AD的對稱點R"，則|PS| + |SR| = |PS| + |SR"| >= |PR"|，因此只有∠ASP = ∠DSR時才可能是最小，其他點同理有相同的條件。顯然題目中的四邊形滿足這個條件（由SAPX四點共圓可得）。接下來就是證明滿足這個條件的四邊形是唯一的。對任意的Q，關於AB做對稱點Q"，關於CD做對稱點Q""，則SQ"與AB交點為P，SQ""與CD交點為R。將Q""關於AD做對稱點得到Q"""，則S是Q"Q"""與AD的交點。設，設C關於AB的對稱點為C"，B關於CD的對稱點為B"，B"C關於AD的對稱點為B""C""，則由於前面的角相等的條件，必須有這是個關於t的線性方程，因此至多有一個解。因此滿足條件的四邊形不可能有兩個，因此題目中的四邊形就是唯一的滿足條件的四邊形，也就是周長最小的四邊形。