商高定理
商高是公元前十一世紀的華人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作 《周髀 算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是著名的勾股定理.
關於勾股定理的發現，《周髀算經》上說："故禹之所以治天下者，此數之所由生也。""此數"指的是"勾三股四弦五"，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關係是在大禹治水時發現的。
畢達哥拉斯定理
Pythagoras’ theorem
在國外，相傳勾股定理是公元前500多年時古希臘數學家畢達哥拉斯首先發現的。因此又稱此定理為“畢達哥拉斯定理”。法國和比利時稱它為“驢橋定理”，埃及稱它為“埃及三角形”等。但他們發現的時間都比中國要遲得多。
趙爽與勾股定理
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關係，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。以後的數學家大多繼承了這一風格並且代有發展。例如稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
中國古代數學家們對於勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關係與空間形式往往是形影不離地並肩發展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓後的重現與繼續。”
應用就是求題,直角三角形知道2長邊求第3邊長
一、達綱要求：
1、理解餘角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形兩銳角互餘等性質，會用它們進行有關論證和計算。
2、瞭解逆命題和逆命定理的概念，原命題成立它的逆命題不一定成立，會識別兩個互逆命題。
3、掌握勾股定理，會用勾股定理由直角三角形兩邊長求第三邊長；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
4、初步掌握根據題設和有關定義、公理、定理進行推理論證。
5、透過介紹中國古代數學關於勾股定理的研究，對學生進行愛國主義教育。
二、重點提示
1、重點 勾股定理及其應用
2、難點 勾股定理及其逆定理的證明
3、關鍵點 靈活運用勾股定理及其逆定理進行證題和計算
三、方法技巧
1、勾股定理是直角三角形三邊存在的一種特殊關係，它的證明方法很多，用面積法證明比較簡捷，用面積法證題是一種重要的證題方法，涉及到距離或垂線段時運用面積法解題較方便。
2、勾股定理的應用非常廣泛，在進行幾何計算時，常常要用到代數知識的方法，有的幾何題為了應用勾股定理，可以作高（或垂線段）構造直角三角形。
3、勾股定理的逆定理的證明方法比較特殊，這種證題思路和方法值得學習借鑑，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依據，它可以透過邊的長度關係，確定角的大小，因而在應用時，有一定的技巧，解題的思路有時更為特殊。
四、典型考題示範
例1.若ΔABC的三外角的度數之比為3：4：5，最長邊AB與最小邊BC的關係是______。
分析：因為三角形三個外角與三內角互補，三角形的內角和為180°，所以三外角的和為360°，這樣三個外角的度數分別為90°，120°，150°，因而三角形之內角的度數分別為90°，60°，30°，因而三角形是含30°角的直角三角形，應用直角三角形，應用直角三角形的性質可以找到最長邊與最短邊的關係。
解：設三角形的三個外角分別為3α，4α，5α，則有3α+4α+5α=360°，
∴α=30°3α=90° 4α=120° 5α=150°
故三角形三個角度數為∠C=180°-90°=90°,∠B=180°-120°=60°,∠A=180°-150°=30°,∴ΔABC為含30°的直角三角形。
∴AB=2BC（直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半）
填 AB=2BC
評註：本題應用勾股定理可以找到三邊的關係，若已知一條邊的長，可以求其餘兩邊長。
商高定理
商高是公元前十一世紀的華人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作 《周髀 算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是著名的勾股定理.
關於勾股定理的發現，《周髀算經》上說："故禹之所以治天下者，此數之所由生也。""此數"指的是"勾三股四弦五"，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關係是在大禹治水時發現的。
畢達哥拉斯定理
Pythagoras’ theorem
在國外，相傳勾股定理是公元前500多年時古希臘數學家畢達哥拉斯首先發現的。因此又稱此定理為“畢達哥拉斯定理”。法國和比利時稱它為“驢橋定理”，埃及稱它為“埃及三角形”等。但他們發現的時間都比中國要遲得多。
趙爽與勾股定理
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關係，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。以後的數學家大多繼承了這一風格並且代有發展。例如稍後一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。
中國古代數學家們對於勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關係與空間形式往往是形影不離地並肩發展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓後的重現與繼續。”
應用就是求題,直角三角形知道2長邊求第3邊長
一、達綱要求：
1、理解餘角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形兩銳角互餘等性質，會用它們進行有關論證和計算。
2、瞭解逆命題和逆命定理的概念，原命題成立它的逆命題不一定成立，會識別兩個互逆命題。
3、掌握勾股定理，會用勾股定理由直角三角形兩邊長求第三邊長；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
4、初步掌握根據題設和有關定義、公理、定理進行推理論證。
5、透過介紹中國古代數學關於勾股定理的研究，對學生進行愛國主義教育。
二、重點提示
1、重點 勾股定理及其應用
2、難點 勾股定理及其逆定理的證明
3、關鍵點 靈活運用勾股定理及其逆定理進行證題和計算
三、方法技巧
1、勾股定理是直角三角形三邊存在的一種特殊關係，它的證明方法很多，用面積法證明比較簡捷，用面積法證題是一種重要的證題方法，涉及到距離或垂線段時運用面積法解題較方便。
2、勾股定理的應用非常廣泛，在進行幾何計算時，常常要用到代數知識的方法，有的幾何題為了應用勾股定理，可以作高（或垂線段）構造直角三角形。
3、勾股定理的逆定理的證明方法比較特殊，這種證題思路和方法值得學習借鑑，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依據，它可以透過邊的長度關係，確定角的大小，因而在應用時，有一定的技巧，解題的思路有時更為特殊。
四、典型考題示範
例1.若ΔABC的三外角的度數之比為3：4：5，最長邊AB與最小邊BC的關係是______。
分析：因為三角形三個外角與三內角互補，三角形的內角和為180°，所以三外角的和為360°，這樣三個外角的度數分別為90°，120°，150°，因而三角形之內角的度數分別為90°，60°，30°，因而三角形是含30°角的直角三角形，應用直角三角形，應用直角三角形的性質可以找到最長邊與最短邊的關係。
解：設三角形的三個外角分別為3α，4α，5α，則有3α+4α+5α=360°，
∴α=30°3α=90° 4α=120° 5α=150°
故三角形三個角度數為∠C=180°-90°=90°,∠B=180°-120°=60°,∠A=180°-150°=30°,∴ΔABC為含30°的直角三角形。
∴AB=2BC（直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半）
填 AB=2BC
評註：本題應用勾股定理可以找到三邊的關係，若已知一條邊的長，可以求其餘兩邊長。