∫x^4*sin(x)dx

=-∫x^4dcos(x)

=-cos(x)x^4+∫cos(x)dx^4

=-cos(x)x^4+∫4x³dsin(x)

=-cos(x)x^4+4x³sin(x)-∫sin(x)d(4x³)

=-cos(x)x^4+4x³sin(x)+∫12x²dcos(x)

=-cos(x)x^4+4x³sin(x)+12x²cos(x)-∫cos(x)d(12x²)

=-cos(x)x^4+4x³sin(x)+12x²cos(x)-∫24xdsin(x)

=-cos(x)x^4+4x³sin(x)+12x²cos(x)-24xsin(x)

+24∫sin(x)dx

=-cos(x)x^4+4x³sin(x)+12x²cos(x)-24xsin(x)

-24cos(x)+C

=4x(x²-6)sin(x)-(x^4-12x²+24)cos(x)+C

有種方法叫做Tabular Method，能快捷解出xⁿe^(ax)，xⁿsinx，xⁿcosx等這型別的積分

前提是其中一個的導數要是有限形式，無限求導會變為0，而積分則是無限迴圈的

∫ x⁴sinx dx

設ƒ(x) = x⁴，I(x) = sinx

以下將不斷分別對ƒ(x)求導，和對I(x)求積分，直到求導結果是0為止。

ƒ(x) = x⁴，I(1) = sinx

ƒ'(x) = 4x³，I(2) = - cosx，+

ƒ''(x) = 12x²，I(3) = - sinx，-

ƒ'''(x) = 24x，I(4) = cosx，+

ƒ⁴(x) = 24，I(5) = sinx，-

ƒ⁵(x) = 0，I(6) = - cosx，+

於是交叉相乘：

(x⁴)(- cosx) - (4x³)(- sinx) + (12x²)(cosx) - (24x)(sinx) + (24)(- cosx)

= - x⁴cosx + 4x³sinx + 12x²cosx - 24xsinx - 24cosx

於是∫ x⁴sinx dx = - x⁴cosx + 4x³sinx + 12x²cosx - 24xsinx - 24cosx + C

同樣地：

∫ x⁴cosx dx

ƒ(x) = x⁴，I(1) = cosx

ƒ'(x) = 4x³，I(2) = sinx，+

ƒ''(x) = 12x²，I(3) = - cosx，-

ƒ'''(x) = 24x，I(4) = - sinx，+

ƒ⁴(x) = 24，I(5) = cosx，-

ƒ⁵(x) = 0，I(6) = sinx，+

(x⁴)(sinx) - (4x³)(- cosx) + (12x²)(- sinx) - (24x)(cosx) + (24)(sinx)

= x⁴sinx + 4x³cosx - 12x²sinx - 24xcosx + 24sinx

於是∫ x⁴cosx dx = x⁴sinx + 4x³cosx - 12x²sinx - 24xcosx + 24sinx + C

這種方法就是積分中的速解法，是分部積分法的特殊形式。