首先不能保證一定可以化為單位矩陣

而在化簡時

先使用初等行變換

得到每行的第一列元素中，

只有一個不是零

然後再以此進行下一列的轉換

最終得到最簡型矩陣

定義

A = (aij)mxn 、B = (bij)mxn；是兩個同型矩陣（行數和列數分別相等），則矩陣A、B和定義為：

只有同型矩陣才能進行加法計算

運算定律

交換律：A + B = B + A

結合律：（A + B）+ C = A + (B + C)

A + O = A = O + A （O為零矩陣）

A + （-A） = O （矩陣減法的定義）

設：

則：

2、矩陣的數乘

定義

數k與矩陣A乘法定義為：

記作：kA = (kaij)mxn;

矩陣的加法和數乘運算，稱為矩陣的線性運算。

運算定律

結合律：(kl)A = k(lA)

分配律：k(A+B) = kA + kB;(k + l)A = kA + lA;

1A = A;0A = O

3、乘法運算

定義

設A = (aij)mxs、B=(bij)sxn AB的乘發定義為

注意：只有當A矩陣的列數等於B矩陣的行數，矩陣乘積AB才有意義；且乘積C矩陣的行數等於A矩陣的行數、C矩陣的列數等於B矩陣的列數。

如：A是(2x3)矩陣,B是(3x4)矩陣，則AB為(2x4)矩陣，BA無意義。

運算定律

矩陣乘法不滿足交換律：一般AB不等於BA，如果AB = BA，即記作A、B可交換

AB = 0 未必 A = O或者 B = O

不滿足消除律，即AB = AC 未必B = C

矩陣乘法滿足下面運算律：

結合律：(AB)C = A(BC)

左分配律：A(B+C) = AB+AC

右分配律：(B+C)A = BA+CA

k(AB) = (kA)B = A(kB)

設A為mxs矩陣，則 ImA = A ，AIs = A（I為單位矩陣）

AO=O OA=O

AkAl = Ak+l (Ak)l = Akl (kl皆為非負整數)

矩陣乘法中，單位矩陣與零矩陣，有類似於數字乘法1，0的作用。

4、矩陣的轉置

定義

mxn的矩陣A，行列交換後得到nxm的矩陣，稱為A的轉置矩陣，記作A'。

運算定律

(A')' = A

(A+B)' = A' + B'

(kA') = kA'