首先說明：在一樓回答的是二B，不懂別他什麼什麼裝懂。
“菲波納斯數列”是很有名的。因為前n項和=第（n+2）項減去一。你隨便寫個數列看能很快求出前n項和嗎？比如前5項和為1，1，2，3，5=13-1=12；前10項和=144-1=143.菲波納斯是個數學家，以他的名字命名的數列是因為這個數列可以求出兔子的個數：1，1是表示兩個兔子，第二月成熟可生一小兔子，小兔子第二月也成熟也可以生小兔子……
對於提問者所說的：
“如果取n=7的13個數的排列情況來看，它的排列正好是鋼琴中13個半音階的排列次序”----我的回答是：可能是巧合，沒有規律的。這和355/113≈3.1415一樣的，是巧合。因為巧合了，人們才把一些東西扯到一起的。
以下是斐波拉契數列的簡介：
斐波拉契數列
■斐波拉契數列的簡介
斐波拉契數列（又譯作“斐波那契數列”）是一個非常美麗、和諧的數列，它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來說明（如右詞條圖），起始的正方形(圖中用灰色表示)的邊長為1，在它左邊的那個正方形的邊長也是1 ，在這兩個正方形的上方再放一個正方形，其邊長為2，以後順次加上邊長為3、5、8、13、2l……等等的正方形。這些數字每一個都等於前面兩個數之和，它們正好構成了斐波那契數列。“斐波那契數列”的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
斐波那契數列指的是這樣一個[font color=#800080]數列[/font]：1，1，2，3，5，8，13，21……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的平方根) (19世紀法國數學家敏聶(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)
很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
■斐波拉契數列的出現
13世紀初，歐洲最好的數學家是斐波拉契；他寫了一本叫做《算盤書》的著作，是當時歐洲最好的數學書。書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的是下面這個題目：
“如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔在它出生後的第3個月裡，又能開始生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年後能繁殖成多少對兔子？”
斐波拉契把推算得到的頭幾個數擺成一串：1，1，2，3，5，8……
這串數里隱含著一個規律：從第3個數起，後面的每個數都是它前面那兩個數的和。而根據這個規律，只要作一些簡單的加法，就能推算出以後各個月兔子的數目了。
於是，按照這個規律推算出來的數，構成了數學史上一個有名的數列。大家都叫它“斐波拉契數列”。這個數列有許多奇特的的性質，例如，從第3個數起，每個數與它後面那個數的比值，都很接近於0.618，正好與大名鼎鼎的“黃金分割律”相吻合。人們還發現，連一些生物的生長規律，在某種假定下也可由這個數列來刻畫呢。
■斐波拉契數列的來源及關係
斐波拉契（Fibonacci）數列來源於兔子問題，它有一個遞推關係，
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
{f(n)}即為斐波拉契數列。
■斐波拉契數列的公式
它的通項公式為:{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5 （注：√5表示根號5）
■斐波拉契數列的某些性質
■1)，f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;
■2), f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=f(n+2)-1
■3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)]
[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契數列的存在】[/font][/font]
甚至可以說，斐波拉契數列無處不在，以下僅舉幾條常見的例子
■1．楊輝三角對角線上各數之和構成斐波拉契數列 ．
■2．多米諾牌（可以看作一個2×1大小的方格）完全覆蓋一個n×2的棋盤，覆蓋的方案數等於斐波拉契數列。
■3． 從蜜蜂的繁殖來看，雄峰只有母親，沒有父親，因為蜂后產的卵，受精的孵化為雌蜂，未受精的孵化為雄峰。人們在追溯雄峰的祖先時，發現一隻雄峰的第n代祖先的數目剛好就是斐波拉契數列的第n項Fn。
■4．鋼琴的13個半音階的排列完全與雄峰第六代的排列情況類似，說明音調也與斐波拉契數列有關。
■5．自然界中一些花朵的花瓣數目符合於斐波拉契數列，也就是說在大多數情況下，一朵花花瓣的數目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是兩套3枚;有4枚可能是基因突變)。
■6．如果一根樹枝每年長出一根新枝，而長出的新枝兩年以後，每年也長出一根新枝，那麼歷年的樹枝數，也構成一個斐波拉契數列 ．
[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契數列與黃金分割】[/font][/font]
斐波拉契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個斐波拉契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n-1)/f(n)-→0.618…。由於斐波拉契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的斐波拉契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。
不僅這個由1,1,2,3,5....開始的"斐波拉契數"是這樣,隨便選兩個整數,然後按照斐波拉契數的規律排下去,兩數間比也是會逐漸逼近黃金比的．
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。
斐波那契數列
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;
兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對;
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對;
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子對數：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）
斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的平方根)
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化簡得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那麼：
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的[font color=#800080]等比數列[/font]的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
首先說明：在一樓回答的是二B，不懂別他什麼什麼裝懂。
“菲波納斯數列”是很有名的。因為前n項和=第（n+2）項減去一。你隨便寫個數列看能很快求出前n項和嗎？比如前5項和為1，1，2，3，5=13-1=12；前10項和=144-1=143.菲波納斯是個數學家，以他的名字命名的數列是因為這個數列可以求出兔子的個數：1，1是表示兩個兔子，第二月成熟可生一小兔子，小兔子第二月也成熟也可以生小兔子……
對於提問者所說的：
“如果取n=7的13個數的排列情況來看，它的排列正好是鋼琴中13個半音階的排列次序”----我的回答是：可能是巧合，沒有規律的。這和355/113≈3.1415一樣的，是巧合。因為巧合了，人們才把一些東西扯到一起的。
以下是斐波拉契數列的簡介：
斐波拉契數列
■斐波拉契數列的簡介
斐波拉契數列（又譯作“斐波那契數列”）是一個非常美麗、和諧的數列，它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來說明（如右詞條圖），起始的正方形(圖中用灰色表示)的邊長為1，在它左邊的那個正方形的邊長也是1 ，在這兩個正方形的上方再放一個正方形，其邊長為2，以後順次加上邊長為3、5、8、13、2l……等等的正方形。這些數字每一個都等於前面兩個數之和，它們正好構成了斐波那契數列。“斐波那契數列”的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
斐波那契數列指的是這樣一個[font color=#800080]數列[/font]：1，1，2，3，5，8，13，21……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的平方根) (19世紀法國數學家敏聶(Jacques Phillipe Marie Binet 1786-1856)
很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
■斐波拉契數列的出現
13世紀初，歐洲最好的數學家是斐波拉契；他寫了一本叫做《算盤書》的著作，是當時歐洲最好的數學書。書中有許多有趣的數學題，其中最有趣的是下面這個題目：
“如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔在它出生後的第3個月裡，又能開始生1對小兔子，假定在不發生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年後能繁殖成多少對兔子？”
斐波拉契把推算得到的頭幾個數擺成一串：1，1，2，3，5，8……
這串數里隱含著一個規律：從第3個數起，後面的每個數都是它前面那兩個數的和。而根據這個規律，只要作一些簡單的加法，就能推算出以後各個月兔子的數目了。
於是，按照這個規律推算出來的數，構成了數學史上一個有名的數列。大家都叫它“斐波拉契數列”。這個數列有許多奇特的的性質，例如，從第3個數起，每個數與它後面那個數的比值，都很接近於0.618，正好與大名鼎鼎的“黃金分割律”相吻合。人們還發現，連一些生物的生長規律，在某種假定下也可由這個數列來刻畫呢。
■斐波拉契數列的來源及關係
斐波拉契（Fibonacci）數列來源於兔子問題，它有一個遞推關係，
f(1)=1
f(2)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=2
{f(n)}即為斐波拉契數列。
■斐波拉契數列的公式
它的通項公式為:{[（1＋√5）/2]^n － [（1－√5）/2]^n }/√5 （注：√5表示根號5）
■斐波拉契數列的某些性質
■1)，f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;
■2), f(1)+f(2)+f(3)+……+f(n)=f(n+2)-1
■3),arctan[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)]
[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契數列的存在】[/font][/font]
甚至可以說，斐波拉契數列無處不在，以下僅舉幾條常見的例子
■1．楊輝三角對角線上各數之和構成斐波拉契數列 ．
■2．多米諾牌（可以看作一個2×1大小的方格）完全覆蓋一個n×2的棋盤，覆蓋的方案數等於斐波拉契數列。
■3． 從蜜蜂的繁殖來看，雄峰只有母親，沒有父親，因為蜂后產的卵，受精的孵化為雌蜂，未受精的孵化為雄峰。人們在追溯雄峰的祖先時，發現一隻雄峰的第n代祖先的數目剛好就是斐波拉契數列的第n項Fn。
■4．鋼琴的13個半音階的排列完全與雄峰第六代的排列情況類似，說明音調也與斐波拉契數列有關。
■5．自然界中一些花朵的花瓣數目符合於斐波拉契數列，也就是說在大多數情況下，一朵花花瓣的數目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是兩套3枚;有4枚可能是基因突變)。
■6．如果一根樹枝每年長出一根新枝，而長出的新枝兩年以後，每年也長出一根新枝，那麼歷年的樹枝數，也構成一個斐波拉契數列 ．
[font class=arr][/font][font class=t1][font size=3]【斐波拉契數列與黃金分割】[/font][/font]
斐波拉契數列與黃金分割有什麼關係呢？經研究發現，相鄰兩個斐波拉契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n-1)/f(n)-→0.618…。由於斐波拉契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的斐波拉契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。
不僅這個由1,1,2,3,5....開始的"斐波拉契數"是這樣,隨便選兩個整數,然後按照斐波拉契數的規律排下去,兩數間比也是會逐漸逼近黃金比的．
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”。
斐波那契數列
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;
兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對;
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對;
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子對數：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）
斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果設F(n)為該數列的第n項(n∈N+)。那麼這句話可以寫成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} (√5表示5的平方根)
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化簡得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那麼：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的[font color=#800080]等比數列[/font]的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}