實數系的基本定理也稱實數系的完備性定理、實數系的連續性定理，這些定理分別是確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則，共7個定理，。

一、上（下）確界原理

非空有上（下）界數集必有上（下）確界。

二、單調有界定理

單調有界數列必有極限。具體來說：

單調增（減）有上（下）界數列必收斂。

三、閉區間套定理（柯西-康托爾定理）

對於任何閉區間套，必存在屬於所有閉區間的公共點。若區間長度趨於零，則該點是唯一公共點。

四、有限覆蓋定理（博雷爾-勒貝格定理，海涅-波雷爾定理）

閉區間上的任意開覆蓋，必有有限子覆蓋。或者說：閉區間上的任意一個開覆蓋，必可從中取出有限個開區間來覆蓋這個閉區間。

五、極限點定理（波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理、聚點定理）

有界無限點集必有聚點。或者說：每個無窮有界集至少有一個極限點。

六、有界閉區間的序列緊性（緻密性定理）

有界數列必有收斂子列。

七、完備性（柯西收斂準則）

數列收斂的充要條件是其為柯西列。或者說：柯西列必收斂，收斂數列必為柯西列。

1.實數系的基本定理也稱實數系的完備性定理、實數系的連續性定理，這些定理分別是確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則，共7個定理。

2.

它們彼此等價，以不同的形式刻畫了實數的連續性，它們同時也是解決數學分析中一些理論問題的重要工具，在微積分學的各個定理中處於基礎的地位。

3.

7個基本定理的相互等價不能說明它們都成立，只能說明它們同時成立或同時不成立，這就需要有更基本的定理來證明其中之一成立，從而說明它們同時都成立，引進方式主要是承認戴德金公理，然後證明這7個基本定理與之等價，以此為出發點開始建立微積分學的一系列概念和定理。

實數公理

戴維·希爾伯特提出的定義

定義實數的一種途徑。按照它，所謂實數系就是定義了兩種二元運算（加法與乘法）和一種次序關係（>）的集合，並且這些運算和次序滿足規定的公理。由這些公理可以推出實數的一切性質。

概述

實數公理是在集合論發展的基礎上，由希爾伯特於1899年首次提出的。後來他所提的公理系統在相容性與獨立性方面得到了進一步改進，逐步演變為現在的公理系統。實數公理來源於實數理論的研究，實數理論包括對實數的結構，運演算法則和拓撲性質等方面問題的研究。