有界不一定收斂是指此數列或函式存在上下限，但沒有一種趨勢是趨向於某一個確定的數，就像正弦函式一樣，雖然有正負1給它作為上下限，但隨著x的變化，函式值沒有趨向於一個確定的1一樣。

收斂一定有界指的是此數列或函式存在一個趨勢，這個趨勢的極限是一個確定的值，就像反比例函式一樣。

收斂數列一定有界（反證,假設無界,肯定不收斂）

有界數列不一定收斂（反例,數列{(-1)^n}是有界的,但它卻是發散的）

本質的不同數列的收斂是指當n趨於無窮時數列項趨於一個數，而數列的前面的有限項是一個確定的數,顯然有界，當n趨於無窮時數列收斂，，說明後面的任意項都是一個有限的數。

而函式收不收斂是指當x趨於x0時，函式的斂散情況，當x趨於x0收斂，函式在x0處肯定是有界的，但並不代表x趨於x1就一定收斂，是否有界也不得而知。



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有界數列不一定是收斂數列，例如，擺動數列。



是有界的，因對一切n，有



但它是發散的；而數列



也是有界的，因對一切n，



但數列是收斂的，有



無界數列一定是發散的，因為如果它是收斂的，根據收斂數列是有界的，得出數列有界的結論。

1、例如(-1)^n，數列為-1，1，-1，1，...；一直震盪,顯然有界，但是沒極限。

2、收斂數列必有界，證明：設數列{An}，n>=1，收斂於A，則對任意的a>0，存在一個N，使得對一切n>N有|An-A|<a；取a=1，則存在N'，使|An-A|<1對所有n>N'成立，即有|An|=|An-A+A|<=|An-A|+|A|<1+|A|。

再注意N'之前只有有限項，所以取M=max{|A1|，|A2|，…|A_N'|，1+|A|}，則有|An|<M 對任意n>=1成立，也即數列有界。

有界數列不一定收斂，例子很多，比如：(-1)^n, 此數列在1與-1之間波動，不收斂。

擴充套件資料：

若數列{Xn}滿足：對一切n 有Xn≤M（其中M是與n無關的常數） 稱數列{Xn}上有界（有上界）並稱M是他的一個上界。

對一切n 有Xn≥m（其中m是與n無關的常數）稱數列{Xn}下有界（有下界）並稱m是他的一個下界；數列{Xn}有界的一個等價定義是：存在正實數X，使得數列的所有項都滿足|Xn|≤X，n=1，2，3，……。

1、數列收斂與存在極限的關係：

數列收斂則存在極限，這兩個說法是等價的；

2、數列收斂與有界性的關係：

數列收斂則數列必然有界，但是反過來不一定成立！

如果數列{Xn}收斂，那麼該數列必定有界。推論：無界數列必定發散；數列有界，不一定收斂；數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件。

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一、有界函式的性質：

1、單調性

閉區間上的單調函式必有界。其逆命題不成立。

2、連續性

閉區間上的連續函式必有界。其逆命題不成立。

3、可積性

閉區間上的可積函式必有界。其逆命題不成立。

4、有界性

5、週期性

二、設函式f(x)是某一個實數集A上有定義，如果存在正數M 對於一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的則稱函式f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數M則稱函式f(x)在A上無界。

設f為定義在D上的函式，若存在數M（L），使得對每一個x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）則稱ƒ在D上有上（下）界的函式，M（L）稱為ƒ在D上的一個上（下）界。