當然不用高深莫測的Taylor展開也可以，那裡要估計餘項進行收斂。大一開篇講兩個重要的極限，它是之一，高數奠基性的地位！

實際上也不需要用兩邊夾法則，只要設(sinx)/x=k，證明k→1即可。也就是證sinx－x→0，簡單的高中導數知識可以完成。但要證明另一個重要的極限：e的由來，就難多了！

這個極限，在高等數學上被稱為重要極限，當然極限本身不重要，甚至在我們看來，這太簡單了，什麼洛必達，等價無窮小，泰勒展開手到擒來，這不是這個極限重要的地方。這個極限重要在於當年解這道題得方法，有個不太好聽的名字---夾逼準則

具體就是sinx＜x＜tanx推出1＞sinx/x＞cosx，標準的夾逼準則的使用。

我不是學數學的，我嘗試回答一下。我個人理解，sin x求導是cos x，當是0的時候，導數是1，就是說趨近於0的時候sin x的波形應該是和y=x這條直線重合的，所以sin x/x 在x→0的時候是1，因為這兩條線在這個時候是無限趨近於重合。因為不是此專業，如有誤請各位指出

你可以這麼理解啊，當x=0時 sinx 和x都是0那麼就算他從0出發的一瞬間的增長速度。在同一無限小的截距，你可以把它看成一段極小的直線(其實也是彎的，我就是要它小成可以被看做直線)。這就可以用他們的導數算了，cosx和1。在x=0時，增長率都是1那麼他們也就在這一極小區間就是相等的。

這個問題是關於二維線狀態的表述。旋意味著線作平行移動，而正餘之意代表運動的始終。正旋表示二維線從0度開始平動，90度為止。一切二維線皆可表示為1。而問題中給出提示x趨向0，即謂線動度仍在原位未動，自然無積。故結果為1。如是。不知說清否？其實，三角函式就是關於二維線之運動方程組。另有切割。切表示對線分解作動態歡，正餘積為1,割是二維運動之根，即旋之根(倒數)旋即線動包括平動，斜動。平動成方，斜動為圓。另外有維繫維動之穩定之取向磁能場C°故線總方程為A(x)+B(y)+C=0……

不要以為當x=0時，y=sinx和y=x都為0，所以sinx/x得極限不存在或為1。需要說明：當x=0時，0為y=sinx和y=x的函式值。然而極限不是研究x=0時的情況的，極限是研究x無限接近於0但不等於0的情況。所以lim (x->0) sinx/x就是說：x無限接近於0但不等於0時，函式y=sinx和y=x的函式值都無限接近於0但不等於0，並且x離0越近，函式y=sinx和y=x的函式值幾乎相同，所以他們的比值為1（因為分子分母幾乎相等，但都不為0），所以極限就為1。

總結：

函式值是研究某一點的；

極限是研究無限接近某一點的（不等於這一點）；

連續是研究該點的函式值和極限的關係的。

極限的本質是無限趨近。如題結果等於1，指的是x趨向於0的過程中，sinx與x的速度相同，也就是等階。座標系中，畫出y=x與y=sinx，就能看出來。糾正一個錯誤：x趨向0時，limx=0

用泰勒公式應該容易理解吧？sinx=x-x^3 /3！+x^5 /5！+…… 上下同除以x，x就是1 sinx 就是1-x^2/3！+x^4/5！…… 此時再讓x趨近於0，函式值就是0 但只能無限趨近於0，不能等於0