tan x的四次方的不定積分

=S(tanx)^2*((secx)^2-1)dx

=S(tanx)^2*(secx)^2*dx-S(tanx)^2*dx

=S(tanx)^2dtanx-S((secx)^2-1)dx

=1/3*(tanx)^3-S(secx)^2*dx+Sdx

=1/3*(tanx)^3-tanx+x+c

擴充套件資料：

連續函式，一定存在定積分和不定積分；若在有限區間[a,b]上只有有限個間斷點且函式有界，則定積分存在；若有跳躍、可去、無窮間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。

求函式f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函式，由原函式的性質可知，只要求出函式f(x)的一個原函式，再加上任意的常數C就得到函式f(x)的不定積分。

tan(x)sec^4(x)dx,設tanx=u

則原積分式=u(u²+1)du

這樣就簡單了,關鍵就是把sec(x)四次方拆成2個2次方

∫(tanx)^4(secx)^5dx

=∫(sinx)^4(cosx)^(-9)dx

=-∫(sinx)^3(cosx)^(-9)d(cosx)

=1/8∫(sinx)^3d[(cosx)^(-8)]

=1/8[(sinx)^3(cosx)^(-8)-3∫(sinx)^2(cosx)^(-7)dx]

=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16∫sinxd[(cosx)^(-6)]

=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16[sinx(cosx)^(-6)-∫(cosx)^(-5)dx]

下面來求∫(cosx)^(-5)dx,設I(n)=∫(cosx)^(-n)dx(n為下標)

則I(n)=∫(cosx)^(2-n)dtanx

=tanx(cosx)^(2-n)-∫(2-n)(cosx)^(1-n)(-sinx)tanxdx

=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)∫[1-(cosx)^2](cosx)^(-n)dx

=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)(I(n)-I(n-2))

所以I(n)=[tanx(cosx)^(2-n)+(n-2)I(n-2)]/(n-1)

所以∫(cosx)^(-5)dx=I(5)=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/4I(3)

=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/4[tanx(cosx)^(-1)+I(1)]/2

=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/8I(1)

=1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/16[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]

所以∫(tanx)^4(secx)^5dx

=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16[sinx(cosx)^(-6)-∫(cosx)^(-5)dx]

=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16sinx(cosx)^(-6)+1/16{1/4tanx(cosx)^(-3)+3/8tanx(cosx)^(-1)+3/16[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]}

=1/8(sinx)^3(cosx)^(-8)-1/16sinx(cosx)^(-6)+1/64tanx(cosx)^(-3)+3/128tanx(cosx)^(-1)+3/256[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]

把格式修改一下

∫(tanx)^4(secx)^5dx=1/8(sinx)^3(secx)^8-1/16sinx(secx)^6+1/64sinx(secx)^4+3/128sinx(secx)^2+3/256[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]