1871年,德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義，其中加法交換律a+b=b+a是一條公理。因此，如果你說的交換律是指康托爾的實數系統的交換律的話，那麼它是不證自明的。如果用皮亞諾的五條公理則證明如下：皮亞諾公理用非形式化的方法敘述如下：Ⅰ0是自然數；Ⅱ每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a'，a'也是自然數（數a的後繼數a'就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如，1'=2，2'=3等等。）可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由0,1構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：Ⅲ0不是任何自然數的後繼數；但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統0,1,2,3，其中3的後繼是3。看來，我們設定的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條。Ⅳ如果b、c的後繼數都是自然數a，那麼b=c；最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如0.3），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。Ⅴ設S⊆N，且滿足2個條件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那麼n'∈S。則S是全體自然數的集合，即S=N。(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)加法定義：我們定義，加法是滿足以下兩種規則的運算：Ⅰ∀m∈N，0+m=m；Ⅱ∀m，n∈N，n'+m=（n+m）'。交換律現證對任意的自然數n，下述命題為真：∀自然數m,m+n=n+m。由上一段知，對n=0命題為真。假設對命題對n成立，則對n'm+n'=m+(0+n)'=m+(0'+n)=m+(1+n)=(m+1)+n=m'+n=(m+n)'=(n+m)'=n'+m，命題也對。由公理Ⅴ，即知交換律成立。

（1）∵a為正數，∴a＞0，∴-a＜0，即-a為負數．（2）∵a為負數，∴a＜0，∴-a＞0，-a表示的是正數．（3）根據有理數的分類，字母a除了可以表示正數和負數外，還可以表示有理數0．