數列這一塊，除了基本的等差等比數列外，還有兩大塊內容：各種求和，各種遞推。

數列的遞推式，我們需要掌握的最常考的主要是以下幾個：

型別一：a（n+1）=a（n）+f（n）

這個很簡單，就是把a（n+1）-a（n）=f（n） 然後累加法（左邊相加，右邊相加）。

型別二：a（n+1）=a（n）·f（n）

這個也很簡單，就是把式子變成a（n+1）/a（n）=f（n） 然後累乘。

型別三：a（n+1）=pa（n）+q

這個也很簡單，a（n+1）-t=p[a（n）-t]，也就是構造a（n）-t是一個等比數列。

型別四：

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這個也比較簡單，就是兩邊取倒數，變成型別三，然後再按照型別三的方法來計算。

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前四種類型，想要數學達到及格水平必須要掌握。

後面的幾種型別都是從上面的四個型別擴充套件延伸出來的，其實並不難理解，如果想要達到135分以上也是要掌握的。

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型別五：a（n+1）=pa（n）+q^n

這個型別是型別三的變形，將後面的常數q變成了q^n，所以我們需要先把兩邊都除以q^（n+1）。

變成a（n+1）/q^(n+1)=pa(n)/q^n·q+1/q 設bn=a（n）/q^n 那麼b（n+1）=pb（n）/q+1/q

實際上，也就變成了型別三，利用型別三繼續計算。

型別六：a（n+2）=pa（n+1）+qa（n）

這個式子其實也是型別三的變形，只不過之前是構造a（n）-t是一個等比數列，現在構造的是a（n+2）-ta（n+1）是一個等比數列。

a（n+2）-ta（n+1）=p[a（n+1）+ta（n）] 用待定係數法求出來t值。

型別七：a（n+1）=pa（n）+an+b

這個其實也是型別三的變形，只不過現在構造的是a（n+1）+x（n+1）+y=p[a（n）+xn+y]，然後利用待定係數法求x和y。

這個式子和型別三差別只不過多了一個an而已，所以構造的新數列也是多一個xn而已。

只不過後面b（n）=lga（n），b（n+1）=pb（n）+q，其實也是型別三的變形。

型別八也可以擴充套件一下，比如

比型別八多了一個2a（n）我們需要先2a（n）的去掉，變成a（n+1）+1=[a（n）+1]²。

然後就變成了型別八了，然後再分別取對數，lg[a(n+1)+1]=2lg[a(n)+1] 令b（n）=lg[a(n)] 所以式子就變成了b（n+1）=2b（n）。

型別九：a(n+1)+a(n)=pn+q 或 a（n+1）a（n）=p·q^n

這兩種型別，我們可以構造成a（2n+1）為等差數列，後面的式子構造成a（2n+1）為等比數列。

這個型別可能大家一眼看不出來怎麼回事兒，在這裡給大家簡單推理一下：

如果a（n）是等差數列的話，a（n）=a1+（n-1）d a（n+1）=a1+nd。

我們知道等差數列的通項就是pn+q，其實q就是a1，p就是（n-1）。

那麼a（n+1）+a（n）=2a1+（2n-1）d=pn+q 其實也是一個等差數列。

a（2n）的通項就是2a1+（2n-1）d，所以a（n+1）+a（n）可以看成a（2n）。

同樣a（n+1）a（n）=p·q^n 可以看成a（2n）=a（n+1）a（n）是等比數列。

型別九可以再擴充套件一下：a(n+1)-a(n)=pn+q a（n+1）/a（n）=pn+q 其實也就是型別一和型別二。

一、累加法

二、累乘法

三、構造法

對於不滿足an+1=an+f(n)，an+1=an·f(n)形式的數列常採用構造法，對所給的遞推公式進行變形構造等差或等比數列進行求解。

四、數學歸納法

數學歸納法（Mathematical Induction, MI）是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者區域性）自然數範圍內成立。除了自然數以外，廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構，例如：集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。