設五次函式
y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
則求導,得：y’=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e
(1) 如y’=0沒有實根
則:要麼y’>0,y單調遞增, 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線,例如:y=x^5+x
要麼y’<0,y單調遞減, 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線,例如:y=-x^5-x
(2) 如y’=0只有一個實根x1, 則必為重根
如為兩重根,則:y’=(x-x1)^2*Q(x), 其中Q(x)=0無實根
則:要麼Q(x)>0,當x不等於x1,y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線(只是在x=x1附近較平坦), 例如:y=x^5+x^3
要麼Q(x)<0,當x不等於x1,y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線(只是在x=x1附近較平坦), 例如:y=-x^5-x^3
如為四重根,則:y’=5a(x-x1)^4
如a>0, 當x不等於x1,y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線(只是在x=x1附近較平坦), 例如:y=x^5
如a<0, 當x不等於x1,y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線(只是在x=x1附近較平坦), 例如:y=-x^5
(3) 如y’=0只有兩個不等實根x1,x2 (x2>x1)
則:y’=(x-x1)(x-x2)*Q(x), 其中Q(x)=0無實根
則:要麼Q(x)>0,當x>x2及x<x1,y’>0,y單調遞增; 當x1<x<x2,y’<0,y單調遞減
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞增,在x1達到區域性的最大值,再從x1到x2單調遞減,在x2達到區域性的最小值,再從x2到+∞單調遞增.
-------------例如:y=(1/5)x^5+(1/4)x^4+(1/3)x^3+(1/2)x^2
要麼Q(x)<0,當x>x2及x<x1,y’<0,y單調遞減; 當x1<x<x2,y’>0,y單調遞增
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞減,在x1達到區域性的最小值,再從x1到x2單調遞增,在x2達到區域性的最大值,再從x2到+∞單調遞減.
-------------例如:y=-(1/5)x^5-(1/4)x^4-(1/3)x^3-(1/2)x^2
(4) 如y’=0有兩個不等實根x1,x2 (x2>x1),且它們都是兩重根
則:y’=5a(x-x1)^2*(x-x2)^2
如a>0, 當x不等於x1,x2, y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線(只是在x=x1及x=x2附近較平坦), 例如:y=(1/5)x^5+(1/2)x^4+(1/3)x^3
如a<0, 當x不等於x1,x2, y’<0, 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線(只是在x=x1及x=x2附近較平坦), 例如:y=-(1/5)x^5-(1/2)x^4-(1/3)x^3
(5)如y’=0有三個不等實根x1,x2,x3 (x2>x1),且x3是兩重根
則:y’=5a(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)^2
如a>0, 當x不等於x3, x>x2及x<x1,y’>0,y單調遞增; 當x1<x<x2,y’<0,y單調遞減
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞增,在x1達到區域性的最大值,再從x1到x2單調遞減,在x2達到區域性的最小值,再從x2到+∞單調遞增. (只是在x=x3附近較平坦),
如a<0, 當x不等於x3, x>x2及x<x1,y’<0,y單調遞減; 當x1<x<x2,y’>0,y單調遞增
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞減,在x1達到區域性的最小值,再從x1到x2單調遞增,在x2達到區域性的最大值,再從x2到+∞單調遞減. (只是在x=x3附近較平坦),
(6) 如y’=0只有兩個不等實根x1,x2 (x2>x1),其中一個，比如x2是三重根，討論方法與(3)中的類似,可以把(x-x2)^2看成是Q(x)
(7) 如y’=0有四個不等實根x1,x2,x3,x4 (x4>x3>x2>x1)
則:y’=5a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
如a>0, 當x<x1,及x>x4,x2<x<x3,則:y’>0, y單調遞增;
當x1<x<x2, 及x3<x<x4則:y’<0, y單調遞減
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞增,在x1達到區域性的最大值,再從x1到x2單調遞減,在x2達到區域性的最小值,再從x2到x3單調遞增, 在x3達到區域性的最大值, 再從x3到x4單調遞減, 在x4達到區域性的最小值, 再從x4到+∞單調遞增.
如a<0, 當x<x1,及x>x4,x2<x<x3,則:y’<0, y單調遞減;
當x1<x<x2, 及x3<x<x4則:y’>0, y單調遞增
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞減,在x1達到區域性的最小值,再從x1到x2單調遞增,在x2達到區域性的最大值,再從x2到x3單調遞減, 在x3達到區域性的最小值, 再從x3到x4單調遞增, 在x4達到區域性的最大值, 再從x4到+∞單調遞減
設五次函式
y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
則求導,得：y’=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e
(1) 如y’=0沒有實根
則:要麼y’>0,y單調遞增, 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線,例如:y=x^5+x
要麼y’<0,y單調遞減, 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線,例如:y=-x^5-x
(2) 如y’=0只有一個實根x1, 則必為重根
如為兩重根,則:y’=(x-x1)^2*Q(x), 其中Q(x)=0無實根
則:要麼Q(x)>0,當x不等於x1,y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線(只是在x=x1附近較平坦), 例如:y=x^5+x^3
要麼Q(x)<0,當x不等於x1,y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線(只是在x=x1附近較平坦), 例如:y=-x^5-x^3
如為四重根,則:y’=5a(x-x1)^4
如a>0, 當x不等於x1,y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線(只是在x=x1附近較平坦), 例如:y=x^5
如a<0, 當x不等於x1,y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線(只是在x=x1附近較平坦), 例如:y=-x^5
(3) 如y’=0只有兩個不等實根x1,x2 (x2>x1)
則:y’=(x-x1)(x-x2)*Q(x), 其中Q(x)=0無實根
則:要麼Q(x)>0,當x>x2及x<x1,y’>0,y單調遞增; 當x1<x<x2,y’<0,y單調遞減
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞增,在x1達到區域性的最大值,再從x1到x2單調遞減,在x2達到區域性的最小值,再從x2到+∞單調遞增.
-------------例如:y=(1/5)x^5+(1/4)x^4+(1/3)x^3+(1/2)x^2
要麼Q(x)<0,當x>x2及x<x1,y’<0,y單調遞減; 當x1<x<x2,y’>0,y單調遞增
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞減,在x1達到區域性的最小值,再從x1到x2單調遞增,在x2達到區域性的最大值,再從x2到+∞單調遞減.
-------------例如:y=-(1/5)x^5-(1/4)x^4-(1/3)x^3-(1/2)x^2
(4) 如y’=0有兩個不等實根x1,x2 (x2>x1),且它們都是兩重根
則:y’=5a(x-x1)^2*(x-x2)^2
如a>0, 當x不等於x1,x2, y’>0, 五次函式的影象是一個單調遞增的曲線(只是在x=x1及x=x2附近較平坦), 例如:y=(1/5)x^5+(1/2)x^4+(1/3)x^3
如a<0, 當x不等於x1,x2, y’<0, 五次函式的影象是一個單調遞減的曲線(只是在x=x1及x=x2附近較平坦), 例如:y=-(1/5)x^5-(1/2)x^4-(1/3)x^3
(5)如y’=0有三個不等實根x1,x2,x3 (x2>x1),且x3是兩重根
則:y’=5a(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)^2
如a>0, 當x不等於x3, x>x2及x<x1,y’>0,y單調遞增; 當x1<x<x2,y’<0,y單調遞減
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞增,在x1達到區域性的最大值,再從x1到x2單調遞減,在x2達到區域性的最小值,再從x2到+∞單調遞增. (只是在x=x3附近較平坦),
如a<0, 當x不等於x3, x>x2及x<x1,y’<0,y單調遞減; 當x1<x<x2,y’>0,y單調遞增
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞減,在x1達到區域性的最小值,再從x1到x2單調遞增,在x2達到區域性的最大值,再從x2到+∞單調遞減. (只是在x=x3附近較平坦),
(6) 如y’=0只有兩個不等實根x1,x2 (x2>x1),其中一個，比如x2是三重根，討論方法與(3)中的類似,可以把(x-x2)^2看成是Q(x)
(7) 如y’=0有四個不等實根x1,x2,x3,x4 (x4>x3>x2>x1)
則:y’=5a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
如a>0, 當x<x1,及x>x4,x2<x<x3,則:y’>0, y單調遞增;
當x1<x<x2, 及x3<x<x4則:y’<0, y單調遞減
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞增,在x1達到區域性的最大值,再從x1到x2單調遞減,在x2達到區域性的最小值,再從x2到x3單調遞增, 在x3達到區域性的最大值, 再從x3到x4單調遞減, 在x4達到區域性的最小值, 再從x4到+∞單調遞增.
如a<0, 當x<x1,及x>x4,x2<x<x3,則:y’<0, y單調遞減;
當x1<x<x2, 及x3<x<x4則:y’>0, y單調遞增
五次函式的影象是: x從-∞到x1單調遞減,在x1達到區域性的最小值,再從x1到x2單調遞增,在x2達到區域性的最大值,再從x2到x3單調遞減, 在x3達到區域性的最小值, 再從x3到x4單調遞增, 在x4達到區域性的最大值, 再從x4到+∞單調遞減