非相對論量子力學有三種重要的表述形式：1）海森堡等人在1925年提出的“矩陣力學”；2）薛定諤在1926年提出的“波動力學”；3）理查德·費曼在1948年提出的“路徑積分”。在數學上，這三種表述形式是等效的，不管用哪一個理論研究一個物理系統，都會得出相同的結論。

但這三種表述形式的數學出發點不一致：1）矩陣力學以物理量的矩陣運算為基礎；2）波動力學以微分方程的解為基礎；3）路徑積分以粒子路徑的泛函積分為基礎。由於矩陣力學與波動力學等效，因此，我們一般學習相對簡單的波動力學——學會這種力學表述，那矩陣力學的學習會很快。這裡說簡單，是因為相對於矩陣運算而言，解微分方程更簡單。而解積分方程一般而言比解微分方程更簡單，所以路徑積分方法又會比波動力學簡單。

這裡只介紹波動力學（作為非相對論量子力學介紹）的一些原理，而其他形式遵從相同或類似的物理原理，只是數學表述不同。

系統的描述

在經典力學中，系統的狀態由某一時刻的廣義座標與廣義速度描述，再由運動方程就可得到系統所有時刻的廣義座標與廣義速度。但在非相對論量子力學（下面直接稱為“量子力學”）中，廣義座標與廣義速度不可同時測量（即座標與速度不對易），這意味著直接從經典力學到量子力學是不可行的。

在量子力學中，可以同時測量的所有物理量組成一個“完全集合”，那麼這個完全集合理應包含了系統的所有資訊，這個完全集合就可以完全描述這個物理系統了。

但量子力學採用另一種描述方法，即系統的狀態由系統的波函式完全描述，這是量子力學第一個基本假設（原理），這個波函式是完全集合的一個函式。同樣地，從波函數出發，我們也同樣可以得到物理系統的所有資訊。

根據波昂的統計解釋，波函式的模的平方代表著系統處於相空間某個體積元（或粒子處於空間某個位置）的機率。這個解釋賦予了波函式以意義——機率。

力學量（或物理量，但我們這裡討論的是力學）

在量子力學中，力學量統一用線性的厄密算符來描述——線性意味著力學量的可加性，厄密性質意味著力學量是實物理量。例如，經典力學地動量對應量子力學的動量算符，經典力學的座標對應於量子力學的座標算符。

不僅如此，經典力學力學量之間的泊松括號對應於量子力學的泊松括號，而量子力學的泊松括號的不對易性質意味著兩個物理量不可同時被精確測量。

系統的演化

在經典力學中，系統的演化由牛頓運動方程或最小作用量原理（對應著拉格朗日方程與哈密頓方程）決定。而到了量子力學中，最小作用量原理不再成立，因此，量子力學的系統的演化直接由一個運動方程——薛定諤方程決定，這個方程也叫系統的波動方程——對應的力學即波動力學。這個方程是波函式的微分方程，其解就是包含時間與完全集合的波函式。

在量子力學向經典力學過渡的時候，引入準經典的波函式，可以經由哈密頓-雅可比方程推出薛定諤方程——這也是從經典力學到量子力學的過渡。

薛定諤方程作為量子力學的基本假設（原理）之一，只能由實驗來加以檢驗。而經過100多年的實驗，這個方程已被眾人認可。

狀態疊加原理

在希爾伯特空間中，系統的波函式可以分解為無數個本徵波函式的疊加。如下圖：

波函式按本徵函式分解，n趨向無窮

同樣的，這些本徵波函式也是完全集合的函式，但不同之處在於測量——第n個本徵波函式的測量會給出第n個確定的完全集合的值——如測量第n個本徵波函式所代表的系統，我們會得到精確的完全集合的物理量的值，且得到這個測量結果的機率為1。

而在一般系統的波函式按本徵波函式展開後，本徵波函式前係數的模的平方就是該系統處於第n個本徵態的機率，即測量得到第n個完全集合的機率為Cn的模的平方。這就是量子力學中的狀態疊加原理。

波函式的這個疊加性質主要歸結于波的疊加性質——兩個波的疊加是相同相位波振幅的直接相加，而在波動力學中，波函式的疊加涉及到希爾伯特空間的基矢的疊加——這與電磁場的疊加一致，都是向量疊加。

全同性原理

全同性原理指的是，相同（全同）粒子不可分辨。這條原理不同於上面四條，是因為上面是力學原理，涉及往往是一個粒子，而全同性原理涉及多粒子體系——它更應該看成是一個統計原理。

在經典力學中，兩個粒子可以用編號加以標記，且它們的軌跡由運動方程嚴格規定，軌跡是一個可精確測量的物理量——這意味著我們可以在經典力學中獲得粒子運動的許多資訊。

但在量子力學中，對於多個粒子組成的體系（這個體系內，粒子間沒有相互作用），如果各粒子的自旋、電荷、同位旋等內稟性質是一樣的，那麼這些粒子就是同一種粒子，它們遵從全同性原理。根據波動力學，波函式是彌散在全空間中的，粒子運動沒有確切的軌跡，那麼我們就不能給他們進行編號——已知初始各粒子座標與動量，但一段時間後，對於在空間某處的粒子，我們不知道其初始位置，這意味著我們測得的全同粒子系統的資訊不是那麼的詳細。

最後，需要提及的是：1）在相對論性量子力學中，全同性原理可以從理論中自然而然地推出；2）泡利不相容原理來源於全同性原理。

最後

上面五條是非相對論量子力學的基本假設（原理），利用這些假設，我們可以求解任意一個單粒子或多粒子體系。

量子力學，為物理學理論，是研究物質世界微觀粒子運動規律的物理學分支，主要研究原子、分子、凝聚態物質，以及原子核和基本粒子的結構、性質的基礎理論。它與相對論一起構成現代物理學的理論基礎。量子力學不僅是現代物理學的基礎理論之一，而且在化學等學科和許多近代技術中得到廣泛應用。

19世紀末，人們發現舊有的經典理論無法解釋微觀系統，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力學，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除了廣義相對論描寫的引力以外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力學的框架內描述（量子場論）。