b i n o m i a l ( n , m ) binomial(n,m)binomial(n,m) 如果0 ⩽ m ⩽ n 0 \leqslant m \leqslant n0⩽m⩽n,則二項式係數C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!\left( n-m \right) !}C
n
m
=
m!(n−m)!
n!
.更一般的定義由Γ \GammaΓ給出：b i n o m i a l ( n , m ) = Γ ( n + 1 ) Γ ( m + 1 ) Γ ( n − m + 1 ) binomial(n,m)=\frac{\Gamma (n+1)}{\Gamma (m+1)\Gamma (n-m+1)}binomial(n,m)=
Γ(m+1)Γ(n−m+1)
Γ(n+1)
G A M M A ( z ) GAMMA(z)GAMMA(z) Γ \GammaΓ函式，定義為：Γ ( z ) = ∫ ∞ 0 e − t t z − 1 d t \Gamma (z)=\int_{\infty}^{0}{e^{-t}t^{z-1}}dtΓ(z)=∫
∞
0
e
−t
t
z−1
dt
G A M M A ( z , a ) GAMMA(z,a)GAMMA(z,a) 不完備的Γ \GammaΓ函式，定義為：Γ ( z , a ) = ∫ ∞ 0 e − t t a − 1 d t \Gamma (z,a)=\int_{\infty}^{0}{e^{-t}t^{a-1}}dtΓ(z,a)=∫
∞
0
e
−t
t
a−1
dt
P s i ( z ) Psi(z)Psi(z) 二次Γ \GammaΓ函式，定義為：Ψ ( x ) = d d x Γ ( x ) Γ ( x ) \Psi (x)=\frac{\frac{d}{dx}\Gamma (x)}{\Gamma (x)}Ψ(x)=
Γ(x)
dx
d
Γ(x)
P s i ( n , z ) Psi(n,z)Psi(n,z) n nn次Γ \GammaΓ函式(也就是二次Γ \GammaΓ函式的n nn次導數），定義為：Ψ ( n , x ) = d n d x n Ψ ( x ) \Psi(n,x)=\frac{d^n}{dx^n}\Psi(x)Ψ(n,x)=
dx
n
d
n
Ψ(x)
B e t a ( x , y ) Beta(x,y)Beta(x,y) β \betaβ函式，定義為：β ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) \beta (x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}β(x,y)=
Γ(x+y)
Γ(x)Γ(y)
Z e t a ( x ) Zeta(x)Zeta(x)、Z e t a ( n , x ) Zeta(n,x)Zeta(n,x) 黎曼ζ \zetaζ函式和它的n nn階導數。定義為：ζ ( x ) = ∑ i = 1 ∞ 1 i x \zeta \left( x \right) =\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{i^x}}ζ(x)=∑
i=1
∞
i
x
1
,ζ ( n , x ) = d n ζ ( x ) d x n \zeta \left( n,x \right) =\frac{d^n\zeta \left( x \right)}{dx^n}ζ(n,x)=
dx
n
d
n
ζ(x)
B e s s e l J ( n , z ) 、 B e s s e l I ( n , z ) BesselJ(n,z)、BesselI(n,z)BesselJ(n,z)、BesselI(n,z)、B e s s e l Y ( n , z ) 、 B e s s e l K ( n , z ) BesselY(n,z)、BesselK(n,z)BesselY(n,z)、BesselK(n,z) B e s s e l J BesselJBesselJ是第一類貝塞爾函式；B e s s e l I BesselIBesselI是改進的第一類貝塞爾函式；B e s s e l Y BesselYBesselY是第二類貝塞爾函式(W e b e r WeberWeber函式）；B e s s e l K BesselKBesselK是改進的第二類貝塞爾函式。
L e g e n d r e F ( x , k ) 、 L e g e n d r e E ( x , k ) LegendreF(x,k)、LegendreE(x,k)LegendreF(x,k)、LegendreE(x,k)、L e g e n d r e K c ( k ) 、 L e g e n d r e E c ( k ) LegendreKc(k)、LegendreEc(k)LegendreKc(k)、LegendreEc(k) L e g e n d r e F LegendreFLegendreF和L e g e n d r e E LegendreELegendreE分別表示第一和第二類橢圓積分；L e g e n d r e K c LegendreKcLegendreKc和L e g e n d r e F c LegendreFcLegendreFc分別表示完備的第一類和第二類橢圓積分。
S i ( z ) 、 C i ( z ) 、 E i ( z ) 、 L i ( z ) Si(z)、Ci(z)、Ei(z)、Li(z)Si(z)、Ci(z)、Ei(z)、Li(z) S i ( z ) Si(z)Si(z)是正弦積分:∫ 0 z s i n ( t ) t d t \int_{0}^{z}\frac{sin(t)}{t}dt∫
0
z
t
sin(t)
dt;C i ( z ) Ci(z)Ci(z)是餘弦積分：γ + ln ( I z ) − I π 2 + ∫ 0 z cos ( t ) − 1 t d t \gamma+\ln(Iz)-\frac{I\pi}{2}+\int_{0}^{z}\frac{\cos(t)-1}{t}dtγ+ln(Iz)−
2
Iπ
+∫
0
z
t
cos(t)−1
dt;E i ( z ) Ei(z)Ei(z)是指指數積分∫ − ∞ z e t t d t \int_{-\infty}^{z} \frac{e^t}{t}dt∫
−∞
z
t
e
t
dt;L i ( z ) Li(z)Li(z)是指對數積分：∫ 0 z cos ( π t 2 2 ) d t \int_0^z \cos(\frac{\pi t^2}{2})dt∫
0
z
cos(
2
πt
2
)dt
F r e s n e l S ( z ) 、 F r e s n e l C ( z ) FresnelS(z)、FresnelC(z)FresnelS(z)、FresnelC(z) F r e s n e l FresnelFresnel的正弦積分函式和餘弦積分函式，分別定義為：∫ 0 z sin ( π t 2 2 ) d t \int_0^z \sin(\frac{\pi t^2}{2})dt∫
0
z
sin(
2
πt
2
)dt和∫ 0 z cos ( π t 2 2 ) d t \int_0^z \cos (\frac{\pi t^2}{2})dt∫
0
z
cos(
2
πt
2
)dt.
e r f ( x ) erf(x)erf(x) 誤差函式,定義為:e r f ( x ) = 2 ( π ) ∫ 0 x e − t 2 d t erf(x)=\frac{2}{\sqrt(\pi)}\int_0^x e^{-t^2}dterf(x)=
(
π)
2
∫
0
x
e
−t
2
dt
這些特殊的函式可以直接使用，也可以從o r t h o p l o y , n u m t h e o r y , c o m b i n a t , s t a t s orthoploy,numtheory,combinat,statsorthoploy,numtheory,combinat,stats等程式包中直接呼叫。
除了基本的數學常量和常用數學函式之外，Maple也提供了部分常用的特殊函式。
在此給出它們的定義說明：
函式 定義
b i n o m i a l ( n , m ) binomial(n,m)binomial(n,m) 如果0 ⩽ m ⩽ n 0 \leqslant m \leqslant n0⩽m⩽n,則二項式係數C n m = n ! m ! ( n − m ) ! C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!\left( n-m \right) !}C
n
m
=
m!(n−m)!
n!
.更一般的定義由Γ \GammaΓ給出：b i n o m i a l ( n , m ) = Γ ( n + 1 ) Γ ( m + 1 ) Γ ( n − m + 1 ) binomial(n,m)=\frac{\Gamma (n+1)}{\Gamma (m+1)\Gamma (n-m+1)}binomial(n,m)=
Γ(m+1)Γ(n−m+1)
Γ(n+1)
G A M M A ( z ) GAMMA(z)GAMMA(z) Γ \GammaΓ函式，定義為：Γ ( z ) = ∫ ∞ 0 e − t t z − 1 d t \Gamma (z)=\int_{\infty}^{0}{e^{-t}t^{z-1}}dtΓ(z)=∫
∞
0
e
−t
t
z−1
dt
G A M M A ( z , a ) GAMMA(z,a)GAMMA(z,a) 不完備的Γ \GammaΓ函式，定義為：Γ ( z , a ) = ∫ ∞ 0 e − t t a − 1 d t \Gamma (z,a)=\int_{\infty}^{0}{e^{-t}t^{a-1}}dtΓ(z,a)=∫
∞
0
e
−t
t
a−1
dt
P s i ( z ) Psi(z)Psi(z) 二次Γ \GammaΓ函式，定義為：Ψ ( x ) = d d x Γ ( x ) Γ ( x ) \Psi (x)=\frac{\frac{d}{dx}\Gamma (x)}{\Gamma (x)}Ψ(x)=
Γ(x)
dx
d
Γ(x)
P s i ( n , z ) Psi(n,z)Psi(n,z) n nn次Γ \GammaΓ函式(也就是二次Γ \GammaΓ函式的n nn次導數），定義為：Ψ ( n , x ) = d n d x n Ψ ( x ) \Psi(n,x)=\frac{d^n}{dx^n}\Psi(x)Ψ(n,x)=
dx
n
d
n
Ψ(x)
B e t a ( x , y ) Beta(x,y)Beta(x,y) β \betaβ函式，定義為：β ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) \beta (x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}β(x,y)=
Γ(x+y)
Γ(x)Γ(y)
Z e t a ( x ) Zeta(x)Zeta(x)、Z e t a ( n , x ) Zeta(n,x)Zeta(n,x) 黎曼ζ \zetaζ函式和它的n nn階導數。定義為：ζ ( x ) = ∑ i = 1 ∞ 1 i x \zeta \left( x \right) =\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{1}{i^x}}ζ(x)=∑
i=1
∞
i
x
1
,ζ ( n , x ) = d n ζ ( x ) d x n \zeta \left( n,x \right) =\frac{d^n\zeta \left( x \right)}{dx^n}ζ(n,x)=
dx
n
d
n
ζ(x)
B e s s e l J ( n , z ) 、 B e s s e l I ( n , z ) BesselJ(n,z)、BesselI(n,z)BesselJ(n,z)、BesselI(n,z)、B e s s e l Y ( n , z ) 、 B e s s e l K ( n , z ) BesselY(n,z)、BesselK(n,z)BesselY(n,z)、BesselK(n,z) B e s s e l J BesselJBesselJ是第一類貝塞爾函式；B e s s e l I BesselIBesselI是改進的第一類貝塞爾函式；B e s s e l Y BesselYBesselY是第二類貝塞爾函式(W e b e r WeberWeber函式）；B e s s e l K BesselKBesselK是改進的第二類貝塞爾函式。
L e g e n d r e F ( x , k ) 、 L e g e n d r e E ( x , k ) LegendreF(x,k)、LegendreE(x,k)LegendreF(x,k)、LegendreE(x,k)、L e g e n d r e K c ( k ) 、 L e g e n d r e E c ( k ) LegendreKc(k)、LegendreEc(k)LegendreKc(k)、LegendreEc(k) L e g e n d r e F LegendreFLegendreF和L e g e n d r e E LegendreELegendreE分別表示第一和第二類橢圓積分；L e g e n d r e K c LegendreKcLegendreKc和L e g e n d r e F c LegendreFcLegendreFc分別表示完備的第一類和第二類橢圓積分。
S i ( z ) 、 C i ( z ) 、 E i ( z ) 、 L i ( z ) Si(z)、Ci(z)、Ei(z)、Li(z)Si(z)、Ci(z)、Ei(z)、Li(z) S i ( z ) Si(z)Si(z)是正弦積分:∫ 0 z s i n ( t ) t d t \int_{0}^{z}\frac{sin(t)}{t}dt∫
0
z
t
sin(t)
dt;C i ( z ) Ci(z)Ci(z)是餘弦積分：γ + ln ( I z ) − I π 2 + ∫ 0 z cos ( t ) − 1 t d t \gamma+\ln(Iz)-\frac{I\pi}{2}+\int_{0}^{z}\frac{\cos(t)-1}{t}dtγ+ln(Iz)−
2
Iπ
+∫
0
z
t
cos(t)−1
dt;E i ( z ) Ei(z)Ei(z)是指指數積分∫ − ∞ z e t t d t \int_{-\infty}^{z} \frac{e^t}{t}dt∫
−∞
z
t
e
t
dt;L i ( z ) Li(z)Li(z)是指對數積分：∫ 0 z cos ( π t 2 2 ) d t \int_0^z \cos(\frac{\pi t^2}{2})dt∫
0
z
cos(
2
πt
2
)dt
F r e s n e l S ( z ) 、 F r e s n e l C ( z ) FresnelS(z)、FresnelC(z)FresnelS(z)、FresnelC(z) F r e s n e l FresnelFresnel的正弦積分函式和餘弦積分函式，分別定義為：∫ 0 z sin ( π t 2 2 ) d t \int_0^z \sin(\frac{\pi t^2}{2})dt∫
0
z
sin(
2
πt
2
)dt和∫ 0 z cos ( π t 2 2 ) d t \int_0^z \cos (\frac{\pi t^2}{2})dt∫
0
z
cos(
2
πt
2
)dt.
e r f ( x ) erf(x)erf(x) 誤差函式,定義為:e r f ( x ) = 2 ( π ) ∫ 0 x e − t 2 d t erf(x)=\frac{2}{\sqrt(\pi)}\int_0^x e^{-t^2}dterf(x)=
(
π)
2
∫
0
x
e
−t
2
dt
這些特殊的函式可以直接使用，也可以從o r t h o p l o y , n u m t h e o r y , c o m b i n a t , s t a t s orthoploy,numtheory,combinat,statsorthoploy,numtheory,combinat,stats等程式包中直接呼叫。