空間向量共線定理如下

如果a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得b=λa。

共線向量基本定理，數學術語。共線向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示為a∥b ，任意一組平行向量都可移到同一直線上，所以稱為共線向量。共線向量基本定理為如果 a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得 b=λa。

中文名

共線向量基本定理

別名

向量共線定理

表示式

b=λa

共線向量基本定理

如果a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得b=λa。

證明：

1）充分性：對於向量 a(a≠0)、b，如果有一個實數λ，使 b=λa，那麼由實數與向量的積的定義知，向量a與b共線。

2）必要性：已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那麼當向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b=λa，當向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=λa。如果b=0，那麼λ=0。

3）唯一性：如果 b=λa=μa，那麼 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。

證畢。

空間向量的基本概念

1.空間向量的概念：

定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

模長：向量的大小叫做向量的模，a的模長記作￨a￨

備註：文中加粗的小寫字母均代表向量。

2.空間向量的運算：

運演算法則：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法符合三角形法則跟平行四邊形法則

運算率：

加法交換律：a+b=b+a

加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

數乘分配率：λ(a+b)= λa+λb

3.共線向量：

定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或者重合，那麼這些向量也叫共線向量或者平行向量

共線向量定理：空間任意兩個向量a，b，且a≠0，a∥b，存在實數λ，使b=λa

三點共線：此部分的內容與平面向量的三點共線是一致的，A，B，C三點共線能得到以下兩個等式。

4.共面向量：

定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量

備註：空間內任意的兩個向量肯定是共面的，因為向量可以進行平移

共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，p與向量a，b共面的條件是存在實數x，y使p=xa+yb

四點共面：若A，B，C，D四點共面也可以得到以下兩個等式

5.空間向量基本定理：

定理：如果三個向量a，b，c不共面，那麼對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實陣列x，y，z，使p=xa+yb+zc

備註：若三向量a，b，c不共面，我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。

推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使：

6.空間向量的數量積：

向量的數量積：此部分內容也與平面向量相同，a·b=￨a￨·￨b￨·cos<a,b>

備註：

① a2=￨a￨2

② 0向量與任何向量的數量積均為0

空間向量數量積運算率：

(λa)b=λ(a·b)=a(λb)

a·b=b·a

a·(b+c)=a·b+a·c

7.空間向量的直角座標系：

空間直角座標系：在空間直角座標系O-xyz中，對空間任一點A，存在唯一的有序實陣列(x，y，z)，使OA=x i+y j+z k，有序實陣列(x，y，z)叫作向量A在空間直角座標系O-xyz中的座標，記作A(x，y，z)，x叫橫座標，y叫縱座標，z叫豎座標。