三個向量共面，且b和c不平行，則a可以用b和c表示，即：a=mb+nc可以列出方程組：1=2m+nλ=-m+4n2=2m+4n求出m=1/3,n=1/3,λ=1

三個向量共面的充要條件：設三個向量是向量a，向量b，向量c，則向量a，向量b，向量c共線的充要條件是：存在兩個實數x，y，使得向量a=x向量b+y向量c。（即一個向量可以寫成另外兩個向量的線性組合。）



在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、向量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量（物理學中稱標量），數量（或標量）只有大小，沒有方向。

向量的記法：印刷體記作黑體（粗體）的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭“→”。如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（並於頂上加→）。在空間直角座標系中，也能把向量以數對形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為向量。許多物理量都是向量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯絡，例如向量勢對應於物理中的勢能。

3維空間中的3個向量a,b,c可以構成一個頂點在座標系原點的四面體的3個稜。

這個四面體的體積可以表示成 |(a X b)c|, 其中，a X b 表示3維向量之間的叉積運算，運算的結果是一個和向量a,b都垂直的3維向量。

(a X b)c表示a,b的叉積[向量]和向量c之間的點積運算。2個向量之間的點積運算的結果是一個標量。| |是對一個標量取絕對值的運算。

顯然，3個3維向量共面時，和它們對應的四面體的體積應該為0。

因此，

(a X b)c = 0

可以作為3個3維向量a,b,c共面的1個判定條件。

實際上，設3階矩陣A的3個行分別為a,b,c。

則

A的行列式 = (a X b)c

所以，一般用矩陣A的行列式是否為零來判斷3個向量a,b,c是否共面。

對於N維(N>3)空間中的向量來說，向量共面一般描述為向量屬於同一個低維的子空間。

由於N維空間的低維子空間的維數可以是1到N-1之間的任何一個數。所以，N維空間中的所謂超平面就不止1個了。

這個時候，要描述向量共一個超平面，或者說向量屬於同一個低維的子空間，就可以利用樓上說的方法。

假設要討論的N維(N>3)空間的低維的子空間的維數為 n. 1<=n<N.

則，這個子空間中的任何向量，都可以表示成子空間的基向量的線性組合。這個子空間的基向量，由n個線性無關的N維向量構成。

所以，判斷m個N維向量是否共面，或者是否屬於同一個n維子空間時。

只要判斷這m個N維向量是否線性相關就可以了。

如果線性相關，就一定存在一個n維子空間(1<=n<N)，使得這m個N維向量屬於這個子空間。

否則，這m個N維向量一定不共面。

[因此，任何N+k個（k>0）N維向量一定共面。]