周長一定時，圓的面積最大。這個定理在很早的古代就提出了，但一直沒有可靠的證明，直到1819年，德華人雅可布第一次給出了嚴格的證明。

證明分為三部分，第一，這個圖形一定是外凸的；

第二，平分周長的弦一定平分面積；

第三，兩端在一條直線上的圖形，半圓最大。綜合上述三個論述，間接證明了周長一定時圓的面積最大。

後來經過幾十年後，其他數學家給出了更加嚴格的證明。

在平面圖形中，如長方形正方形和圓形，當它們的周長相等時，圓的面積最大

例如當長方形正方形和圓形它們的周長都是6.28米時，圓的面積是3.14×（6.28÷3.14÷2）的平方等於3.14平方米，正方形面積等於6.28÷4的平方是1.57的平方等於1.9649平方米，長方形面積等於長乘寬，周長是6.28米，長與寬的和是3.14米，長方形面積最大長可能是1.58米寬是1.56米，面積也不到2.4648平方米