在瞭解了關於群的一些基本概念後,就可以學習群的矩陣表示理論了。顧名思義,就是用矩陣的理論來表示群,
相應的“群乘”運算就是矩陣的乘法
什麼樣的矩陣集合能用來表示一個群呢?這個矩陣集合首先要與群G
同態
方矩陣
非奇異
以上就是群的矩陣表示的概念。同構是同態的一種特例。特別地,若矩陣集合與群G是
同構
確實表示
不確實表示
對於群G的矩陣表示,一般記為。
1)相似變換與等價表示:對於同一個群,它的矩陣表示的具體形式可以有很多種,這些表示是等價的,稱為
等價表示
相似變換
由相似變換有:,其中為非奇異方陣。若的集合為群G的一個表示,則的集合也為群G的一個表示。
證:對於群的表示,由群的矩陣表示的定義,對於任意群元,有
由相似變換有
結合以上四式,有,因此,也是群G的一個表示,與
等價
特別地,有限群的任何非奇異矩陣表示,都可以透過相似變換,變成么正表示(證明過程比較長,故省略)。么正表示,即每個群元的表示矩陣均為
么正矩陣(酉矩陣)
2)有群的矩陣表示的定義,可知有限群的表示方陣的維數(行數或列數)不是唯一的。據此可將表示分成兩類:
可約表示與不可約表示
若表示可用一個相似變換將所有的矩陣同時變成
相同塊狀結構的塊對角矩陣
可約表示
不可約表示
舉個例子,比如,取它的兩個不可約表示(以上標區分),則滿足
的表示也是群G的一個表示(由塊對角矩陣的矩陣乘法運演算法則可證),而且是可約的,因為矩陣的形式是
塊對角矩陣
因此,我們可以用群G的一些
3)
舒爾引理
1】若為不可約表示,則必為常數矩陣
2】若不為常數矩陣,則必為可約表示。
證明過程比較長,故省略。
舒爾引理的逆定理也成立。
4)
不可約表示矩陣元的正交性
,為群階,為不可約表示的維數。
5)等價表示的
特徵標
若為群G的一個維表示,則群元的特徵標定義為
由於相似變換不改變矩陣的跡,因此特徵標在相似變換下是不會改變的。
還可以證明,群G的同類元素在同一個不可約表示下,具有相同的特徵標。
6)
特徵標的正交性
7)
約化係數
直和
。
稱為可約表示簡約成不可約表示的簡約係數(約化係數)。
參考資料
【1】《群論及其在固體物理中的應用》 徐婉棠 等
【2】 《群論及其在物理學中的應用》 謝希德 等
在瞭解了關於群的一些基本概念後,就可以學習群的矩陣表示理論了。顧名思義,就是用矩陣的理論來表示群,
相應的“群乘”運算就是矩陣的乘法
。什麼樣的矩陣集合能用來表示一個群呢?這個矩陣集合首先要與群G
同態
,矩陣之間的乘法要滿足群定義的四個條件。因此,矩陣是方矩陣
(群的封閉性),且非奇異
(群的逆元存在性)。而且,若對應的方陣,那麼一定有。以上就是群的矩陣表示的概念。同構是同態的一種特例。特別地,若矩陣集合與群G是
同構
的話,我們稱這樣的表示為確實表示
,否則為不確實表示
。對於群G的矩陣表示,一般記為。
1)相似變換與等價表示:對於同一個群,它的矩陣表示的具體形式可以有很多種,這些表示是等價的,稱為
等價表示
。利用線性代數,可以證明,滿足相似變換
的矩陣集合,是等價的表示。由相似變換有:,其中為非奇異方陣。若的集合為群G的一個表示,則的集合也為群G的一個表示。
證:對於群的表示,由群的矩陣表示的定義,對於任意群元,有
由相似變換有
結合以上四式,有,因此,也是群G的一個表示,與
等價
。特別地,有限群的任何非奇異矩陣表示,都可以透過相似變換,變成么正表示(證明過程比較長,故省略)。么正表示,即每個群元的表示矩陣均為
么正矩陣(酉矩陣)
。2)有群的矩陣表示的定義,可知有限群的表示方陣的維數(行數或列數)不是唯一的。據此可將表示分成兩類:
可約表示與不可約表示
。若表示可用一個相似變換將所有的矩陣同時變成
相同塊狀結構的塊對角矩陣
,則稱這樣的表示為可約表示
。反正則為不可約表示
。舉個例子,比如,取它的兩個不可約表示(以上標區分),則滿足
的表示也是群G的一個表示(由塊對角矩陣的矩陣乘法運演算法則可證),而且是可約的,因為矩陣的形式是
塊對角矩陣
。因此,我們可以用群G的一些
不可約表示
,構造出無窮多的可約表示
。3)
舒爾引理
:有一非零方陣與群G的某一表示的所有方陣對易,則1】若為不可約表示,則必為常數矩陣
2】若不為常數矩陣,則必為可約表示。
證明過程比較長,故省略。
舒爾引理的逆定理也成立。
4)
不可約表示矩陣元的正交性
:若為群G的兩個不等價的不可約的么正表示,則有,為群階,為不可約表示的維數。
5)等價表示的
特徵標
:由於矩陣經過相似變換後變成另一個矩陣,所以等價表示的形式有無窮多。但我們能夠找到一組標量,它們在相似變換下不會改變,可表徵所有的等價表示,這一組標量稱為特徵標
。若為群G的一個維表示,則群元的特徵標定義為
由於相似變換不改變矩陣的跡,因此特徵標在相似變換下是不會改變的。
還可以證明,群G的同類元素在同一個不可約表示下,具有相同的特徵標。
6)
特徵標的正交性
:若G的兩個不等價不可約么正表示為,則有7)
約化係數
:設群G有個不等價不可約表示,組成塊對角矩陣,這裡的求和為直和
,不是普通的矩陣加法。
約化係數可由下式求得稱為可約表示簡約成不可約表示的簡約係數(約化係數)。
參考資料
【1】《群論及其在固體物理中的應用》 徐婉棠 等
【2】 《群論及其在物理學中的應用》 謝希德 等