在瞭解了關於群的一些基本概念後，就可以學習群的矩陣表示理論了。顧名思義，就是用矩陣的理論來表示群，

相應的“群乘”運算就是矩陣的乘法

。

什麼樣的矩陣集合能用來表示一個群呢？這個矩陣集合首先要與群G

同態

，矩陣之間的乘法要滿足群定義的四個條件。因此，矩陣是

方矩陣

（群的封閉性），且

非奇異

（群的逆元存在性）。而且，若對應的方陣，那麼一定有。

以上就是群的矩陣表示的概念。同構是同態的一種特例。特別地，若矩陣集合與群G是

同構

的話，我們稱這樣的表示為

確實表示

，否則為

不確實表示

。

對於群G的矩陣表示，一般記為。

1）相似變換與等價表示：對於同一個群，它的矩陣表示的具體形式可以有很多種，這些表示是等價的，稱為

等價表示

。利用線性代數，可以證明，滿足

相似變換

的矩陣集合，是等價的表示。

由相似變換有：,其中為非奇異方陣。若的集合為群G的一個表示，則的集合也為群G的一個表示。

證：對於群的表示，由群的矩陣表示的定義，對於任意群元，有

由相似變換有

結合以上四式，有，因此，也是群G的一個表示，與

等價

。

特別地，有限群的任何非奇異矩陣表示，都可以透過相似變換，變成么正表示（證明過程比較長，故省略）。么正表示，即每個群元的表示矩陣均為

么正矩陣（酉矩陣）

。

2）有群的矩陣表示的定義，可知有限群的表示方陣的維數（行數或列數）不是唯一的。據此可將表示分成兩類：

可約表示與不可約表示

。

若表示可用一個相似變換將所有的矩陣同時變成

相同塊狀結構的塊對角矩陣

，則稱這樣的表示為

可約表示

。反正則為

不可約表示

。

舉個例子，比如，取它的兩個不可約表示（以上標區分），則滿足

的表示也是群G的一個表示（由塊對角矩陣的矩陣乘法運演算法則可證），而且是可約的，因為矩陣的形式是

塊對角矩陣

。

因此，我們可以用群G的一些

不可約表示

，構造出無窮多的

可約表示

。

3）

舒爾引理

：有一非零方陣與群G的某一表示的所有方陣對易，則

1】若為不可約表示，則必為常數矩陣

2】若不為常數矩陣，則必為可約表示。

證明過程比較長，故省略。

舒爾引理的逆定理也成立。

4）

不可約表示矩陣元的正交性

：若為群G的兩個不等價的不可約的么正表示，則有

,為群階,為不可約表示的維數。

5）等價表示的

特徵標

：由於矩陣經過相似變換後變成另一個矩陣，所以等價表示的形式有無窮多。但我們能夠找到一組標量，它們在相似變換下不會改變，可表徵所有的等價表示，這一組標量稱為

特徵標

。

若為群G的一個維表示，則群元的特徵標定義為

由於相似變換不改變矩陣的跡，因此特徵標在相似變換下是不會改變的。

還可以證明，群G的同類元素在同一個不可約表示下，具有相同的特徵標。

6）

特徵標的正交性

：若G的兩個不等價不可約么正表示為，則有

7）

約化係數

：設群G有個不等價不可約表示，組成塊對角矩陣,這裡的求和為

直和

，不是普通的矩陣加法

。

約化係數可由下式求得

稱為可約表示簡約成不可約表示的簡約係數（約化係數）。

參考資料

【1】《群論及其在固體物理中的應用》 徐婉棠 等

【2】 《群論及其在物理學中的應用》 謝希德 等