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  • 1 # 使用者241508479928868

    在瞭解了關於群的一些基本概念後,就可以學習群的矩陣表示理論了。顧名思義,就是用矩陣的理論來表示群,

    相應的“群乘”運算就是矩陣的乘法

    什麼樣的矩陣集合能用來表示一個群呢?這個矩陣集合首先要與群G

    同態

    ,矩陣之間的乘法要滿足群定義的四個條件。因此,矩陣是

    方矩陣

    (群的封閉性),且

    非奇異

    (群的逆元存在性)。而且,若對應的方陣,那麼一定有。

    以上就是群的矩陣表示的概念。同構是同態的一種特例。特別地,若矩陣集合與群G是

    同構

    的話,我們稱這樣的表示為

    確實表示

    ,否則為

    不確實表示

    對於群G的矩陣表示,一般記為。

    1)相似變換與等價表示:對於同一個群,它的矩陣表示的具體形式可以有很多種,這些表示是等價的,稱為

    等價表示

    。利用線性代數,可以證明,滿足

    相似變換

    的矩陣集合,是等價的表示。

    由相似變換有:,其中為非奇異方陣。若的集合為群G的一個表示,則的集合也為群G的一個表示。

    證:對於群的表示,由群的矩陣表示的定義,對於任意群元,有

    由相似變換有

    結合以上四式,有,因此,也是群G的一個表示,與

    等價

    特別地,有限群的任何非奇異矩陣表示,都可以透過相似變換,變成么正表示(證明過程比較長,故省略)。么正表示,即每個群元的表示矩陣均為

    么正矩陣(酉矩陣)

    2)有群的矩陣表示的定義,可知有限群的表示方陣的維數(行數或列數)不是唯一的。據此可將表示分成兩類:

    可約表示與不可約表示

    若表示可用一個相似變換將所有的矩陣同時變成

    相同塊狀結構的塊對角矩陣

    ,則稱這樣的表示為

    可約表示

    。反正則為

    不可約表示

    舉個例子,比如,取它的兩個不可約表示(以上標區分),則滿足

    的表示也是群G的一個表示(由塊對角矩陣的矩陣乘法運演算法則可證),而且是可約的,因為矩陣的形式是

    塊對角矩陣

    因此,我們可以用群G的一些

    不可約表示

    ,構造出無窮多的

    可約表示

    3)

    舒爾引理

    :有一非零方陣與群G的某一表示的所有方陣對易,則

    1】若為不可約表示,則必為常數矩陣

    2】若不為常數矩陣,則必為可約表示。

    證明過程比較長,故省略。

    舒爾引理的逆定理也成立。

    4)

    不可約表示矩陣元的正交性

    :若為群G的兩個不等價的不可約的么正表示,則有

    ,為群階,為不可約表示的維數。

    5)等價表示的

    特徵標

    :由於矩陣經過相似變換後變成另一個矩陣,所以等價表示的形式有無窮多。但我們能夠找到一組標量,它們在相似變換下不會改變,可表徵所有的等價表示,這一組標量稱為

    特徵標

    若為群G的一個維表示,則群元的特徵標定義為

    由於相似變換不改變矩陣的跡,因此特徵標在相似變換下是不會改變的。

    還可以證明,群G的同類元素在同一個不可約表示下,具有相同的特徵標。

    6)

    特徵標的正交性

    :若G的兩個不等價不可約么正表示為,則有


    7)

    約化係數

    :設群G有個不等價不可約表示,組成塊對角矩陣,這裡的求和為

    直和

    ,不是普通的矩陣加法

    約化係數可由下式求得

    稱為可約表示簡約成不可約表示的簡約係數(約化係數)。


    參考資料

    【1】《群論及其在固體物理中的應用》 徐婉棠 等

    【2】 《群論及其在物理學中的應用》 謝希德 等

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