含有一個根號的無理方程的解法
在兩邊平方前先整理方程,把含根號的項放到等號的左邊,把不含根號的項移到等號的右邊.
含兩個根號的無理方程：
這種型別的無理方程需要對方程兩邊兩次平方,在第一次平方前要檢查一下兩個根號是否放在等號的兩邊,第二次兩邊平方前,要仿照前面第一種型別的解題方法.
以後類推.
無理方程的解法
未知數含在根號下的方程叫作無理方程(或根式方程),這是數學競賽中經常出現的一些特殊形式的方程中的一種.解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解,在變形時要注意根據方程的結構特徵選擇解題方法.常用的方法有:乘方法,配方法,因式分解法,設輔助元素法,利用比例性質法等.本講將透過例題來說明這些方法的運用.
例1 解方程
解 移項得
兩邊平方後整理得
再兩邊平方後整理得
x2+3x-28=0,
所以 x1=4,x2=-7.
經檢驗知,x2=-7為增根,所以原方程的根為x=4.
說明 用乘方法(即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號)來解無理方程,往往會產生增根,應注意驗根.
例2 解方程
方公式將方程的左端配方.將原方程變形為
所以
兩邊平方得
3x2+x=9-6x+x2,
3x2+x=x2+6x+9,
例3 解方程
即
移項得
例4 解方程
解 三個未知量,一個方程,要有確定的解,則方程的結構必然是極其特殊的.將原方程變形為
配方得
利用非負數的性質得
所以 x=1,y=2,z=3.
經檢驗,x=1,y=2,z=3是原方程的根.
例5 解方程
將①兩邊平方,並利用②得
x2y2+2xy-8=0,
(xy+4)(xy-2)=0.
xy=2.③
例6 解方程
解 觀察到題中兩個根號的平方差是13,即
②÷①便得
由①,③得
例7 解方程
分析與解 注意到
(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2).
設
則
u2-v2=w2-t2,①
u+v=w+t.②
因為u+v=w+t=0無解,所以①÷②得
u-v=w-t.③
②+③得u=w,即
解得x=-2.
經檢驗,x=-2是原方程的根.
例8 解方程
整理得 y3-1=(1-y)2,
即 (y-1)(y2+2)=0.
解得y=1,即x=-1.
經檢驗知,x=-1是原方程的根.
整理得 y3-2y2+3y=0.
解得y=0,從而x=-1.
例9 解方程
邊的分式的分子與分母只有一些項的符號不同,則可用合分比定理化簡方程.
根據合分比定理得
再用合分比定理得
化簡得x2=4a2.解得x=±2a.
經檢驗,x=±2a是原方程的根.
【無理方程的解法】
(1)將它兩邊乘方化成有理方程去解,解出後要檢驗它的根．(2)換元,設出輔助未知數．
x2－20x+100=4(x+5)
x2－24x+80=0
x1=4,x2＝20．
經檢驗：x=4是增根,x=20為原方程的根．
說明：在方程中含有兩個以上根式時,要將它分散在方程的兩邊再進行乘方．
t=t2－20
t2－t－20=0
解 出t1=5,t2=－4．
說明：出現相同的代數式時,可利用換元把無理方程化成有理方程,求出輔助未知數後再解．
含有一個根號的無理方程的解法
在兩邊平方前先整理方程,把含根號的項放到等號的左邊,把不含根號的項移到等號的右邊.
含兩個根號的無理方程：
這種型別的無理方程需要對方程兩邊兩次平方,在第一次平方前要檢查一下兩個根號是否放在等號的兩邊,第二次兩邊平方前,要仿照前面第一種型別的解題方法.
以後類推.
無理方程的解法
未知數含在根號下的方程叫作無理方程(或根式方程),這是數學競賽中經常出現的一些特殊形式的方程中的一種.解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解,在變形時要注意根據方程的結構特徵選擇解題方法.常用的方法有:乘方法,配方法,因式分解法,設輔助元素法,利用比例性質法等.本講將透過例題來說明這些方法的運用.
例1 解方程
解 移項得
兩邊平方後整理得
再兩邊平方後整理得
x2+3x-28=0,
所以 x1=4,x2=-7.
經檢驗知,x2=-7為增根,所以原方程的根為x=4.
說明 用乘方法(即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號)來解無理方程,往往會產生增根,應注意驗根.
例2 解方程
方公式將方程的左端配方.將原方程變形為
所以
兩邊平方得
3x2+x=9-6x+x2,
兩邊平方得
3x2+x=x2+6x+9,
例3 解方程
即
所以
移項得
例4 解方程
解 三個未知量,一個方程,要有確定的解,則方程的結構必然是極其特殊的.將原方程變形為
配方得
利用非負數的性質得
所以 x=1,y=2,z=3.
經檢驗,x=1,y=2,z=3是原方程的根.
例5 解方程
所以
將①兩邊平方,並利用②得
x2y2+2xy-8=0,
(xy+4)(xy-2)=0.
xy=2.③
例6 解方程
解 觀察到題中兩個根號的平方差是13,即
②÷①便得
由①,③得
例7 解方程
分析與解 注意到
(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2).
設
則
u2-v2=w2-t2,①
u+v=w+t.②
因為u+v=w+t=0無解,所以①÷②得
u-v=w-t.③
②+③得u=w,即
解得x=-2.
經檢驗,x=-2是原方程的根.
例8 解方程
整理得 y3-1=(1-y)2,
即 (y-1)(y2+2)=0.
解得y=1,即x=-1.
經檢驗知,x=-1是原方程的根.
整理得 y3-2y2+3y=0.
解得y=0,從而x=-1.
例9 解方程
邊的分式的分子與分母只有一些項的符號不同,則可用合分比定理化簡方程.
根據合分比定理得
兩邊平方得
再用合分比定理得
化簡得x2=4a2.解得x=±2a.
經檢驗,x=±2a是原方程的根.
【無理方程的解法】
(1)將它兩邊乘方化成有理方程去解,解出後要檢驗它的根．(2)換元,設出輔助未知數．
x2－20x+100=4(x+5)
x2－24x+80=0
x1=4,x2＝20．
經檢驗：x=4是增根,x=20為原方程的根．
說明：在方程中含有兩個以上根式時,要將它分散在方程的兩邊再進行乘方．
t=t2－20
t2－t－20=0
解 出t1=5,t2=－4．
說明：出現相同的代數式時,可利用換元把無理方程化成有理方程,求出輔助未知數後再解．