證明：（1）函式F(x)=f(x)+g(x)的定義域為D，當x∈D時，-x∈D.

∵f(x)在區間D上是奇函式，函式y=g(x)在區間D上是奇函式，

∴對任意x∈D有

f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，

∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

即對任意x∈D有 F(-x)=-F(x)成立。

故F(x)為奇函式。

所以兩個奇函式的和是奇函式。

（2））函式F(x)=f(x)+g(x)的定義域為D，當x∈D時，-x∈D.

∵f(x)在區間D上是奇函式，函式y=g(x)在區間D上是奇函式，

∴對任意x∈D有

f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，

∴G(-x)=f-(x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=G(x)

即對任意x∈D有 G(-x)=G(x)成立。

故G(x)為偶函式。

所以兩個奇函式的積是偶函式。



擴充套件資料

奇函式的性質：

1、兩個奇函式相加所得的和或相減所得的差為奇函式 。

2、一個偶函式與一個奇函式相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函式。

3、兩個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為偶函式。

4、一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為奇函式。

5、當且僅當 （定義域關於原點對稱）時， 既是奇函式又是偶函式。奇函式在對稱區間上的積分為零。

偶函式的性質：

1、圖象關於y軸對稱

2、滿足f(-x) = f(x)

3、關於原點對稱的區間上單調性相反

4、如果一個函式既是奇函式有是偶函式,那麼有f(x)=0

5、定義域關於原點對稱（奇偶函式共有的）

已知：函式y=f(x)在區間D上是奇函式，函式y=g(x)在區間D上是奇函式.求證：（1）F(x)=f(x)+g(x)是奇函式.（2）G(x)=f(x).g(x)是偶函式。

證明：（1）函式F(x)=f(x)+g(x)的定義域為D，當x∈D時，-x∈D.

∵f(x)在區間D上是奇函式，函式y=g(x)在區間D上是奇函式，

∴對任意x∈D有

f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，

∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

即對任意x∈D有 F(-x)=-F(x)成立。

故F(x)為奇函式。

所以兩個奇函式的和是奇函式。

（2））函式F(x)=f(x)+g(x)的定義域為D，當x∈D時，-x∈D.

∵f(x)在區間D上是奇函式，函式y=g(x)在區間D上是奇函式，

∴對任意x∈D有

f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，

∴G(-x)=f-(x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=G(x)

即對任意x∈D有 G(-x)=G(x)成立。

故G(x)為偶函式。

所以兩個奇函式的積是偶函式。

設函式h(x)=g（x）+f（x）

則h（-x）=g（-x）+f（-x）

當g（x）與f（x）為偶函式時，

∵g（-x）=g（x），f（-x）=f（x）

∴h（-x）=h（x）即偶函式+偶函式= 偶函式；

當g（x）與f（x）為奇函式時，

h（-x）=g（-x）+f（-x）=-g（x）+【-f（x）】

=-h（x）

∴奇函式+奇函式=奇函式

兩個奇函式的和差積商並不都是奇函式。如果兩個奇函式的定義域都是相同的關於原點0對稱的區間的話，那麼這兩個奇函式的和的或差是奇函式，因為f(一x)±g(-x)=-f(x)幹g(x)=一[十f(x)十g(x)。

如果這兩個函式相乘除的話，就成了偶函式，因為f(-x)g(一x)或f(-x)/g(一x)等於f(x)g(ⅹ)或f(x)/g(x)。

兩個奇函式之和f（x）+g（x）＝-f（-x）-g（-x）＝-（f（-x）+g（-x））所以為奇函式。

兩個奇函式之差同理可以證明也是奇函式。

兩個奇函式之積f（x）•g（x）＝-f（-x）•（-g（-x））＝f（-x）•g（-x），為偶函式

比如sinx-x的三次方，這個多項式兩項分別都是奇函式，總體上為奇函式。但是sinx•x^3兩個奇函式相乘為偶函式。