海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。

假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

而公式裡的s：

s=\frac{a+b+c}{2}

由於任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地匯出答案。

證明

設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則餘弦定理為

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

從而有

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}

因此三角形的面積S為

S = \frac{1}{2}ab \sin(C)

= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}

= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

最後的等號部分可用因式分解予以匯出。

已知三角形的三條邊長分別是a、b、c，則三角形的面積：

△＝根號下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)

這個公式叫海倫公式〔Heron's Formula〕。

中國大數學家秦九韶〔1022-1261〕在他寫的《數書九章》〔成書於1247〕的第五卷《田域類》第二題「三斜求積」中所用的公式本質上與海倫公式是相同的，其意義就是：設三角形的三邊分別為a，b，c，面積為Δ，則

Δ=根號下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}

這個公式與海倫公式是等價的。

中國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由於土地的面積並不是的三角形，要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數學家秦九韶提出了“三斜求積術”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減後餘數被4除，所得的數作為“實”，作1作為“隅”，開平方後即得面積。

所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

當P=1時，△ 2=q,

△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

=1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.

根據海倫公式，我們可以將其繼續推廣至四邊形的面積運算。如下題：

已知四邊形ABCD為圓的內接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積

這裡用海倫公式的推廣

S圓內接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）

代入解得s=8√ 3

證明（3）

在△ABC中∠A、∠B、∠C對應邊a、b、c

O為其內切圓圓心，r為其內切圓半徑，p為其半周長

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)