一.直線系
1.平行系 與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+m=0
2.垂直系 與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為Bx-Ay+m=0
3.切線系 與圓(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切線系方程為(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=r
4.定點系 過定點(a,b)的直線系方程為m(x-a)+n(y-b)=0
5.交點系 過直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+m(A2x+B2y+C2)=0（可以表示經過l1與l2的交點的除去l2的所有直線）
二．圓系
1.過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+m(Ax+By+C)=0
2.過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+m(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0（可以表示經過C1與C2的交點的除去C2的所有圓）
特別的，m=-1時，若兩圓相交，表示經過交點的直線，即相交弦，若兩圓相切，則表示兩圓的公切線.
推論：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，點P(x0,y0)是圓外一點,過P作圓的兩條切線，切點為C,D,則直線CD的方程為：(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2
三．例題
1.求過直線l:x+2y+1=0與直線2x-y+1=0的交點且在兩座標軸上截距相等的直線方程.
方法一先求兩直線交點座標，再求欲求直線方程
方法二利用直線系方程求出所求直線方程
x-3y=0或5x+5y+4=0
易錯點：容易遺漏過原點的直線
2.求經過兩圓x2+y2+3x-y-2=0和3x2+3y2+2x+y+1=0交點和座標原點的圓的方程.
方法一先求兩圓交點，再求圓的方程 計算量比較大
方法二利用圓系方程可得7x2+7y2+7x+y=0
3.求經過直線l：2x+y+4=0和x2+y2+2x-4y+1=0的交點且面積最小的圓的方程.
思路一求出直線與圓的交點A、B座標，過A、B兩點面積最小的圓，即以AB為直徑的圓，從而求出圓的方程
思路二利用圓系的方程設出所求圓的方程為：x2+y2+2x-4y+1+m(2x+y+4)=0
要使得圓的面積最小，即需圓心在直線2x+y+4=0上。
思路三求出上面圓的半徑，再求得m=8/5時圓的半徑最小，即面積最小，此時圓的方程為5x2+5y2+26x-12y+37=0
變式：求過兩圓x2+y2=5和(x-1)2+(y-1)2=16的交點且面積最小的圓的方程.
思路一直接求兩圓的交點，在求出圓的方程，計算量比較大！
思路二設所求圓的方程為x2+y2-5+m[(x-1)2+(y-1)2-16]=0,再求出面積最小的圓，較繁！
思路三 在思路二中令m=-1,可得兩圓的公共弦方程為2x+2y-11=0,此時，本題劃歸為例題3，可以計算得到結果。
思路四利用平面幾何知識可知兩圓圓心的連線與兩圓公共弦的交點，即所求圓的圓心，在利用弦心直角三角形，可以求出圓的半徑，從而得到該題結果.
4.已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0相交於P、Q兩點，O為座標原點，若OP⊥OQ,求實數m的值.
思路一將x+2y-3=0與x2+y2+x-6y+m=0聯立，可得5y2-20y+12+m=0
利用根與係數的關係求出x1x2,y1y2,由 OP⊥OQ,可得x1x2+y1y2=0，求出m=3。
思路二利用圓系方程設出所求圓的方程為x2+y2+x-6y+m+n(x+2y-3)=0,由已知，原點O在以PQ為直徑的圓上，可以得到該題結果。
一.直線系
1.平行系 與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+m=0
2.垂直系 與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為Bx-Ay+m=0
3.切線系 與圓(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切線系方程為(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=r
4.定點系 過定點(a,b)的直線系方程為m(x-a)+n(y-b)=0
5.交點系 過直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+m(A2x+B2y+C2)=0（可以表示經過l1與l2的交點的除去l2的所有直線）
二．圓系
1.過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+m(Ax+By+C)=0
2.過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+m(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0（可以表示經過C1與C2的交點的除去C2的所有圓）
特別的，m=-1時，若兩圓相交，表示經過交點的直線，即相交弦，若兩圓相切，則表示兩圓的公切線.
推論：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，點P(x0,y0)是圓外一點,過P作圓的兩條切線，切點為C,D,則直線CD的方程為：(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2
三．例題
1.求過直線l:x+2y+1=0與直線2x-y+1=0的交點且在兩座標軸上截距相等的直線方程.
方法一先求兩直線交點座標，再求欲求直線方程
方法二利用直線系方程求出所求直線方程
x-3y=0或5x+5y+4=0
易錯點：容易遺漏過原點的直線
2.求經過兩圓x2+y2+3x-y-2=0和3x2+3y2+2x+y+1=0交點和座標原點的圓的方程.
方法一先求兩圓交點，再求圓的方程 計算量比較大
方法二利用圓系方程可得7x2+7y2+7x+y=0
3.求經過直線l：2x+y+4=0和x2+y2+2x-4y+1=0的交點且面積最小的圓的方程.
思路一求出直線與圓的交點A、B座標，過A、B兩點面積最小的圓，即以AB為直徑的圓，從而求出圓的方程
思路二利用圓系的方程設出所求圓的方程為：x2+y2+2x-4y+1+m(2x+y+4)=0
要使得圓的面積最小，即需圓心在直線2x+y+4=0上。
思路三求出上面圓的半徑，再求得m=8/5時圓的半徑最小，即面積最小，此時圓的方程為5x2+5y2+26x-12y+37=0
變式：求過兩圓x2+y2=5和(x-1)2+(y-1)2=16的交點且面積最小的圓的方程.
思路一直接求兩圓的交點，在求出圓的方程，計算量比較大！
思路二設所求圓的方程為x2+y2-5+m[(x-1)2+(y-1)2-16]=0,再求出面積最小的圓，較繁！
思路三 在思路二中令m=-1,可得兩圓的公共弦方程為2x+2y-11=0,此時，本題劃歸為例題3，可以計算得到結果。
思路四利用平面幾何知識可知兩圓圓心的連線與兩圓公共弦的交點，即所求圓的圓心，在利用弦心直角三角形，可以求出圓的半徑，從而得到該題結果.
4.已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線l：x+2y-3=0相交於P、Q兩點，O為座標原點，若OP⊥OQ,求實數m的值.
思路一將x+2y-3=0與x2+y2+x-6y+m=0聯立，可得5y2-20y+12+m=0
利用根與係數的關係求出x1x2,y1y2,由 OP⊥OQ,可得x1x2+y1y2=0，求出m=3。
思路二利用圓系方程設出所求圓的方程為x2+y2+x-6y+m+n(x+2y-3)=0,由已知，原點O在以PQ為直徑的圓上，可以得到該題結果。