根式判別法（柯西判別法）

正項級數

正項級數

正項級數

設 為正項級數，且存在某正常數 及正常數 。

正項級數

正項級數

正項級數

（1）若對一切 ，成立不等式 ，則級數 收斂；

正項級數

正項級數

正項級數

（2）若對一切 ，成立不等式 ，則級數 發散；

柯西判別法的極限形式：

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

設

為正項級數，且

，則：

（1）當

時，級數

收斂；

正項級數

正項級數

（2）當 ，級數 發散。

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

注意：若 ，這時用根式判別法不能對級數的斂散性做出判別，因為它可能是收斂的，也可能是發散的，例如級數 和 ，他們的比式極限都是 ，但 是收斂的， 卻是發散的。

積分判別法

積分判別法是利用非負函式的單調性和積分性質，並以反常積分為比較物件來判斷正項級數的斂散性。

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

設 為 上非負減函式，那麼正項級數 與反常積分 同時收斂或同時發散。

典例

p級數

正項級數

正項級數

正項級數

討論 級數 的收斂性，其中常數 。

解：分兩種情況討論，

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

（1）當 ， 級數的各項大於等於調和級數 的對應項，即 ，由於調和級數發散，因此根據比較判別法可知，此時 級數發散。

正項級數

正項級數

正項級數

（2）當 時，記 級數的部分和為： .

正項級數

正項級數

正項級數

當 時，取 ，則有 ，所以有：

正項級數

正項級數

從而

正項級數

即有 。

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

這表明當時， 級數的部分和有界。因此，當時，級數收斂。

例2

正項級數

討論正項級數的斂散性。

解：

正項級數

正項級數

正項級數

（1）當時，對一切都有，因此級數發散。

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

正項級數

（2）當時，對一切都有，而為收斂的等比數列，因此級數收斂。