向量範數
定義1. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
則稱Cn中定義了向量範數,║x║為向量x的範數.
可見向量範數是向量的一種具有特殊性質的實值函式.
常用向量範數有,令x=( x1,x2,…,xn)T
1-範數:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-範數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-範數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.Cn中任意兩種向量範數║x║α,║x║β是等價的,即有m,M>0使
m║x║α≤║x║β≤M║x║
可根據範數的連續性來證明它.由定理1可得
定理2.設{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,則
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)
其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱{x(k)}收斂於x,記作x(k)
→x(k→∞),或 .
三、 矩陣範數
定義2. 設 ,滿足
1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0
2. 齊次性:║cX║=│c│║X║,
3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║
4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║
則稱Cn×n中定義了矩陣範數,║X║為矩陣X的範數.
注意, 矩陣X可視為n2維向量,故有前三條性質.因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質等也適合於矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關係而設.更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣範數向量範數的相容性:
║Ax║≤║A║║x║
所謂由向量範數誘匯出的矩陣範數與該向量範數就是相容的.
定理3. 設A是n×n矩陣,║?║是n維向量範數則
║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}
是一種矩陣範數,稱為由該向量範數誘匯出的矩陣範數或運算元範數,它們具有相容性
或者說是相容的.
單位矩陣的運算元範數為1
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數.例如定義:
║x║=║X║,X=(xx…x)
常用的三種向量範數誘匯出的矩陣範數是
1-範數:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=
2-範數:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的
最大特徵值.
∞-範數:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=
此外還有Frobenius範數: .它與向量2-範數相容.但非向量範數誘匯出的矩陣範數.
四、 矩陣譜半徑
定義3.設A是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n.稱
為A的譜半徑.
譜半徑是矩陣的函式,但非矩陣範數.對任一矩陣範數有如下關係:
ρ(A)≤║A║
因為任一特徵對λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.兩邊取範數,由矩陣範數的
相容性和齊次性就匯出結果.
定理3.矩陣序列I,A,A2,…Ak,…收斂於零的充分必要條件是ρ(A)
向量範數
定義1. 設 ,滿足
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2. 齊次性:║cx║=│c│║x║,
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
則稱Cn中定義了向量範數,║x║為向量x的範數.
可見向量範數是向量的一種具有特殊性質的實值函式.
常用向量範數有,令x=( x1,x2,…,xn)T
1-範數:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-範數:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-範數:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.Cn中任意兩種向量範數║x║α,║x║β是等價的,即有m,M>0使
m║x║α≤║x║β≤M║x║
可根據範數的連續性來證明它.由定理1可得
定理2.設{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,則
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)
其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱{x(k)}收斂於x,記作x(k)
→x(k→∞),或 .
三、 矩陣範數
定義2. 設 ,滿足
1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0
2. 齊次性:║cX║=│c│║X║,
3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║
4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║
則稱Cn×n中定義了矩陣範數,║X║為矩陣X的範數.
注意, 矩陣X可視為n2維向量,故有前三條性質.因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質等也適合於矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關係而設.更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣範數向量範數的相容性:
║Ax║≤║A║║x║
所謂由向量範數誘匯出的矩陣範數與該向量範數就是相容的.
定理3. 設A是n×n矩陣,║?║是n維向量範數則
║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}
是一種矩陣範數,稱為由該向量範數誘匯出的矩陣範數或運算元範數,它們具有相容性
或者說是相容的.
單位矩陣的運算元範數為1
可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數.例如定義:
║x║=║X║,X=(xx…x)
常用的三種向量範數誘匯出的矩陣範數是
1-範數:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=
2-範數:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的
最大特徵值.
∞-範數:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=
此外還有Frobenius範數: .它與向量2-範數相容.但非向量範數誘匯出的矩陣範數.
四、 矩陣譜半徑
定義3.設A是n×n矩陣,λi是其特徵值,i=1,2,…,n.稱
為A的譜半徑.
譜半徑是矩陣的函式,但非矩陣範數.對任一矩陣範數有如下關係:
ρ(A)≤║A║
因為任一特徵對λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.兩邊取範數,由矩陣範數的
相容性和齊次性就匯出結果.
定理3.矩陣序列I,A,A2,…Ak,…收斂於零的充分必要條件是ρ(A)