2012年全國初中數學聯合競賽試題參考答案
第一試
一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）
1．已知 ， ， ，那麼 的大小關係是 （ C ）
A. B. C. D.
2．方程 的整數解 的組數為 （ B ）
A．3. B．4. C．5. D．6.
3．已知正方形ABCD的邊長為1，E為BC邊的延長線上一點，CE＝1，連線AE，與CD交於點F，連線BF並延長與線段DE交於點G，則BG的長為 （ D ）
A． B． C． D．
4．已知實數 滿足 ，則 的最小值為 （ B ）
A． . B．0. C．1. D． .
5．若方程 的兩個不相等的實數根 滿足 ，則實數 的所有可能的值之和為 （ B ）
A．0. B． . C． . D． .
6．由1，2，3，4這四個數字組成四位數 （數字可重複使用），要求滿足 .這樣的四位數共有 （ C ）
A．36個. B．40個. C．44個. D．48個.
二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）
1．已知互不相等的實數 滿足 ，則 ．
2．使得 是完全平方數的整數 的個數為 1 ．
3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P為AB上一點，∠ACP＝20°，則 ＝ ．
4．已知實數 滿足 ， ， ，則 ＝ ．
第二試 （A）
一、（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數，周長為30，求它的外接圓的面積.
解 設直角三角形的三邊長分別為 （ ），則 .
顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長 ，下面先求 的值.
由 及 得 ，所以 .
又因為 為整數，所以 .
根據勾股定理可得 ，把 代入，化簡得 ，所以
，
因為 均為整數且 ，所以只可能是 解得
所以，直角三角形的斜邊長 ，三角形的外接圓的面積為 .
二．（本題滿分25分）如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP於點D.證明： .
證明：連線OA，OB，OC.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， .
又由切割線定理可得 ，∴ ，∴D、B、C、O四點共圓，
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，
∴ ，∴ .
三．（本題滿分25分）已知拋物線 的頂點為P，與 軸的正半軸交於A 、B （ ）兩點，與 軸交於點C，PA是△ABC的外接圓的切線.設M ，若AM//BC，求拋物線的解析式.
解 易求得點P ，點C .
設△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都線上段AB的垂直平分線上，設點D的座標為 .
顯然， 是一元二次方程 的兩根，所以 ， ，又AB的中點E的座標為 ，所以AE＝ .
因為PA為⊙D的切線，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，所以可得 .
又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入後可解得 （另一解 捨去）.
又因為AM//BC，所以 ，即 .
把 代入解得 （另一解 捨去）.
因此，拋物線的解析式為 .
第二試 （B）
一．（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數，周長為60，求它的外接圓的面積.
因為 均為整數且 ，所以只可能是 或
解得 或
當 時， ，三角形的外接圓的面積為 ；
當 時， ，三角形的外接圓的面積為 .
二．（本題滿分25分）如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP於點D，△ADC的外接圓與BC的另一個交點為E.證明：∠BAE＝∠ACB.
證明：連線OA，OB，OC，BD.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得
， .
又由切割線定理可得 ，
∴ ，∴D、B、C、O四點共圓，
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，
∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ ，
又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，
∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圓的切線，∴∠BAE＝∠ACB.
三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.
第二試 （C）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同.
二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.
三．（本題滿分25分）已知拋物線 的頂點為P，與 軸的正半軸交於A 、B （ ）兩點，與 軸交於點C，PA是△ABC的外接圓的切線.將拋物線向左平移 個單位，得到的新拋物線與原拋物線交於點Q，且∠QBO＝∠OBC.求拋物線的解析式.
解 拋物線的方程即 ，所以點P ，點C .
將拋物線 向左平移 個單位後，得到的新拋物線為
.
易求得兩拋物線的交點為Q .
由∠QBO＝∠OBC可得 ∠QBO＝ ∠OBC.
作QN⊥AB，垂足為N，則N ，又 ，所以
∠QBO＝ ＝
又 ∠OBC＝ ，所以
解得 （另一解 ，捨去）.
2012年全國初中數學聯合競賽試題參考答案
第一試
一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）
1．已知 ， ， ，那麼 的大小關係是 （ C ）
A. B. C. D.
2．方程 的整數解 的組數為 （ B ）
A．3. B．4. C．5. D．6.
3．已知正方形ABCD的邊長為1，E為BC邊的延長線上一點，CE＝1，連線AE，與CD交於點F，連線BF並延長與線段DE交於點G，則BG的長為 （ D ）
A． B． C． D．
4．已知實數 滿足 ，則 的最小值為 （ B ）
A． . B．0. C．1. D． .
5．若方程 的兩個不相等的實數根 滿足 ，則實數 的所有可能的值之和為 （ B ）
A．0. B． . C． . D． .
6．由1，2，3，4這四個數字組成四位數 （數字可重複使用），要求滿足 .這樣的四位數共有 （ C ）
A．36個. B．40個. C．44個. D．48個.
二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）
1．已知互不相等的實數 滿足 ，則 ．
2．使得 是完全平方數的整數 的個數為 1 ．
3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P為AB上一點，∠ACP＝20°，則 ＝ ．
4．已知實數 滿足 ， ， ，則 ＝ ．
第二試 （A）
一、（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數，周長為30，求它的外接圓的面積.
解 設直角三角形的三邊長分別為 （ ），則 .
顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長 ，下面先求 的值.
由 及 得 ，所以 .
由 及 得 ，所以 .
又因為 為整數，所以 .
根據勾股定理可得 ，把 代入，化簡得 ，所以
，
因為 均為整數且 ，所以只可能是 解得
所以，直角三角形的斜邊長 ，三角形的外接圓的面積為 .
二．（本題滿分25分）如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP於點D.證明： .
證明：連線OA，OB，OC.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， .
又由切割線定理可得 ，∴ ，∴D、B、C、O四點共圓，
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，
∴ ，∴ .
三．（本題滿分25分）已知拋物線 的頂點為P，與 軸的正半軸交於A 、B （ ）兩點，與 軸交於點C，PA是△ABC的外接圓的切線.設M ，若AM//BC，求拋物線的解析式.
解 易求得點P ，點C .
設△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都線上段AB的垂直平分線上，設點D的座標為 .
顯然， 是一元二次方程 的兩根，所以 ， ，又AB的中點E的座標為 ，所以AE＝ .
因為PA為⊙D的切線，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，所以可得 .
又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入後可解得 （另一解 捨去）.
又因為AM//BC，所以 ，即 .
把 代入解得 （另一解 捨去）.
因此，拋物線的解析式為 .
第二試 （B）
一．（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數，周長為60，求它的外接圓的面積.
解 設直角三角形的三邊長分別為 （ ），則 .
顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長 ，下面先求 的值.
由 及 得 ，所以 .
由 及 得 ，所以 .
又因為 為整數，所以 .
根據勾股定理可得 ，把 代入，化簡得 ，所以
，
因為 均為整數且 ，所以只可能是 或
解得 或
當 時， ，三角形的外接圓的面積為 ；
當 時， ，三角形的外接圓的面積為 .
二．（本題滿分25分）如圖，PA為⊙O的切線，PBC為⊙O的割線，AD⊥OP於點D，△ADC的外接圓與BC的另一個交點為E.證明：∠BAE＝∠ACB.
證明：連線OA，OB，OC，BD.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得
， .
又由切割線定理可得 ，
∴ ，∴D、B、C、O四點共圓，
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，
∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ ，
∴ ，∴ .
又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，
∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圓的切線，∴∠BAE＝∠ACB.
三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.
第二試 （C）
一．（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同.
二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.
三．（本題滿分25分）已知拋物線 的頂點為P，與 軸的正半軸交於A 、B （ ）兩點，與 軸交於點C，PA是△ABC的外接圓的切線.將拋物線向左平移 個單位，得到的新拋物線與原拋物線交於點Q，且∠QBO＝∠OBC.求拋物線的解析式.
解 拋物線的方程即 ，所以點P ，點C .
設△ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都線上段AB的垂直平分線上，設點D的座標為 .
顯然， 是一元二次方程 的兩根，所以 ， ，又AB的中點E的座標為 ，所以AE＝ .
因為PA為⊙D的切線，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，所以可得 .
又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入後可解得 （另一解 捨去）.
將拋物線 向左平移 個單位後，得到的新拋物線為
.
易求得兩拋物線的交點為Q .
由∠QBO＝∠OBC可得 ∠QBO＝ ∠OBC.
作QN⊥AB，垂足為N，則N ，又 ，所以
∠QBO＝ ＝
.
又 ∠OBC＝ ，所以
.
解得 （另一解 ，捨去）.
因此，拋物線的解析式為 .