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  • 1 # 使用者1842400150433624

    海倫公式

    海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫-秦九韶公式,傳說是古代的敘拉古國王希倫(Heron,也稱海龍)二世發現的公式,利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據MorrisKline在1908年出版的著作考證,這條公式其實是阿基米德所發現,以託希倫二世的名發表(未查證)。中國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”,它與海倫公式基本一樣。

    假設有一個三角形,邊長分別為a、b、c,三角形的面積S可由以下公式求得:

    S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

    而公式裡的p為半周長:

    p=(a+b+c)/2

    ——————————————————————————————————————————————

    注:"Metrica"(《度量論》)手抄本中用s作為半周長,所以

    S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的,但多用p作為半周長。

    ——————————————————————————————————————————————

    由於任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形,所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候,不用測三角形的高,只需測兩點間的距離,就可以方便地匯出答案。

    證明(1):

    與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C,則餘弦定理為

    cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

    S=1/2*ab*sinC

    =1/2*ab*√(1-cos^2C)

    =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

    =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

    =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

    =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

    =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

    設p=(a+b+c)/2

    則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

    上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

    =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

    所以,三角型ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

    證明(2):

    中國宋代的數學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣,其實在《九章算術》中,已經有求三角形公式“底乘高的一半”,在實際丈量土地面積時,由於土地的面積並不是的三角形,要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積?直到南宋,中國著名的數學家九韶提出了“三斜求積術”。

    秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相減後餘數的一半,自乘而得一個數小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那個。相減後餘數被4除馮所得的數作為“實”,作1作為“隅”,開平方後即得面積。

    所謂“實”、“隅”指的是,在方程px2=qk,p為“隅”,Q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜,所以

    q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]

    當P=1時,△2=q,

    S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}

    因式分解得

    1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]

    =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

    =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

    =p(p-a)(p-b)(p-c)

    由此可得:

    S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

    其中p=1/2(a+b+c)

    這與海倫公式完全一致,所以這一公式也被稱為“海倫-秦九韶公式”。

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