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  • 1 # 使用者8561832946998

    驗證平行軸定理的方法


    方法一


    剛體對任意軸的轉動慣量,等於剛體對透過質心並與該軸平行的軸的轉動慣量,再加上剛體質量與兩軸之間距離平方的乘積,此為平行軸定理.關於此定理的驗證,採用三線擺和剛體轉動實驗儀來驗證。在這裡利用復擺驗證平行軸定理的方法。


    一 實驗方法及公式推導


    一個圍繞定軸擺動的剛體就是復擺,當擺動的振幅甚小時,其振動週期 T 為


    式中J為復擺對以O 為軸轉動時的轉動慣量,m為復擺的質量,g為當地的重力加速度,h為擺的支點O到擺的質心G的距離。又設復擺對透過質心G平行O軸的軸轉動時的轉動慣量為JG,根據平行軸定理得:


    而JG又可寫成 JG= m k 2,k 就是復擺的回轉半徑,由此可將⑴式改成為


    整理⑶式得:


    當 h= h1 時,I1= JG + mh12,式中h1為支點O1到擺的質心G的距離,J1是以O1為軸時的轉動慣量。同理有:


    ⑷- ⑸得:


    上式反映出轉軸位置對轉動的影響,也是對平行軸定理的檢驗。在⑹式中令 y= T2h- T12h1,x = h2-h12,則⑹式變為


    從測量可得出n組(x,y)值,用最小二乘法求出擬合直線y= a+ bx及相關係數r,若r接近於1,說明x與y二者線性相關,平行軸定理得到驗證;或作T2h- T12h1對h2-h12圖線,若到檢驗為一直線,平行軸定理亦得


    方法二


    測量舉例


    1) 測量步驟


    a. 測定重心G的位置SG


    將復擺水平放在支架的刀刃上,利用槓桿原理尋找G點的位置


    b. 量出各支點對應的h值


    c. 測出復擺繞各支點擺動的週期T擺角小於 (5°改變支點10次)


    2) 資料記錄


    各支點對應的 h 值及週期T見表1


    3) 資料處理


    取 h1= 6 cm,T1= 1.51 s,根據測量資料可得出10組(x,y)值,見表2


    根據最小二乘法求出引數 a,b,得出


    a= 21×10-2 cm ·s 2,Sa = 18×1010-2 cm s 2


    b= 0. 0411s 2 ·cm-1,Sb = 0. 0005 s 2 ·cm-1


    r= 0. 999375


    平行軸定理


    在此實驗中,誤差的主要來源是偶然誤差,所以只計算A類標準不確定度作為總的不確定度,略去B類不確定度。結果a,b 的不確定度為:


    u(a) = 18×10-2 cm ·s 2


    u (b) = 0. 0005 s 2 ·cm-1


    最後結果為:


    a= (21±18) ×10-2 cm ·s 2


    b= 0. 0411±0. 0005 s 2 ·cm-1


    r= 0. 999375


    從最後結果可以看出,x 與 y 二者完全線性相關,平行軸定理得到驗證。

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