1. 模運算是取餘運算(記做 % 或者 mod)，具有周期性的特點。 m%n的意思是n除m後的餘數， 當m遞增時m%n呈現週期性特點， 並且n越大，週期越長，週期等於n。

例如

0 % 20 = 0，1 % 20 = 1， 2 % 20 = 2， 3 % 20 = 3， ...， 19 % 20 = 19

20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3， ...，39 % 20 = 19

2. 如果 m % n = r，那麼可以推出如下等式

m = k * n + r (k為大於等於0的整數， r <= m）

3. 同餘式， 表示正整數a，b對n取模，它們的餘數相同，記做 a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。

根據2的等式可以推出 a = kn + b 或者 a - b = kn

證明： ∵ a = k1 * n + r1

b = k2 * n + r2

∴ a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2)

a = k * n + (r1 - r2) + b

∵ a, b對n取模同餘，r1 = r2

∴ a = k * n + b (k = k1 - k2)

4. 模運算規則， 模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下

(a + b) % n = (a % n + b % n) % n （1）

(a - b) % n = (a % n - b % n) % n （2）

(a * b) % n = (a % n * b % n) % n （3）

ab % n = ((a % n)b) % n （4）

（1）式證明

∵ a = k1*n + r1

b = k2*n + r2

a % n = r1

b % n = r2

∴(a+b) % n = ((k1+k2)*n + (r1+r2)) % n = (r1+r2) % n = (a % n + b % n)% n

得證

（2）式證明同上

（3）式證明

a = k1*n + r1

b = k2*n + r2

(a*b) % n = (k1k2n2 + (k1r2+k2r1)n + r1r2) % n = r1r2 % n = (a %n * b %n ) % n

(4)式證明

設 a % n = r

ab %n= (a * a * a * a…*a) %n = (a %n * a %n * a %n * … * a %n) %n = rb % n = ((a % n) b) % n

模運算看起來不是很直觀，但是可以用來推匯出一些有用的東西。 例如（4）式可以用來降冪運算，例如計算6265 % 133,直接計算的話需要算出6265 利用（4）式可以進行降冪運算。

6265 % 133

= 62 * 6264 % 133

= 62 * (622)32 % 133

= 62 * 384432 % 133

= 62 * (3844 % 133)32 % 133

= 62 * 12032 % 133

= 62 * 3616 % 133

= 62 * 998 % 133

= 62 * 924 % 133

= 62 * 852 % 133

= 62 * 43 % 133

= 2666 % 133

= 6