齊次變換

一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底，部落格上看到一篇關於透視投影變換的探討的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明。

由於作者對齊次座標真的解釋的不錯，我就原封不動的摘抄過來：

對於一個向量v以及基oabc，可以找到一組座標(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c （1）

而對於一個點p，則可以找到一組座標（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c （2），

從上面對向量和點的表達，我們可以看出為了在座標系中表示一個點（如p），我們把點的位置看作是對這個基的原點o所進行的一個位移，即一個向量——p – o（有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始於座標原點的特殊向量），我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

由於**(1)(3)**是座標系下表達一個向量和點的不同表達方式。這裡可以看出，雖然都是用代數分量的形式表達向量和點，但表達一個點比一個向量需要額外的資訊。如果我寫出一個代數分量表達(1, 4, 7)，誰知道它是個向量還是個點！

我們現在把（1）（3）寫成矩陣的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),這裡(a,b,c,o)是座標基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的座標。

這樣，向量和點在同一個基下就有了不同的表達：3D向量的第4個代數分量是0，而3D點的第4個代數分量是1。像這種這種用4個代數分量表示3D幾何概念的方式是一種齊次座標表示。這樣，上面的(1, 4, 7)如果寫成（1,4,7,0），它就是個向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個點。

下面是如何在普通座標(Ordinary Coordinate)和齊次座標(Homogeneous Coordinate)之間進行轉換：

(1)從普通座標轉換成齊次座標時 如果(x,y,z)是個點，則變為(x,y,z,1);

如果(x,y,z)是個向量，則變為(x,y,z,0)

(2)從齊次座標轉換成普通座標時 如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點，變成(x,y,z); 如果是(x,y,z,0)，則知道它是個向量，仍然變成(x,y,z)以上是透過齊次座標來區分向量和點的方式。

從中可以思考得知，對於平移T、旋轉R、縮放S這3個最常見的仿射變換，平移變換隻對於點才有意義，因為普通向量沒有位置概念，只有大小和方向.而旋轉和縮放對於向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。

從中可以看出，齊次座標用於仿射變換非常方便。此外，對於一個普通座標的點P=(Px, Py, Pz)，有對應的一族齊次座標(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等於零。比如，P(1, 4, 7)的齊次座標有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。

因此，如果把一個點從普通座標變成齊次座標，給x,y,z乘上同一個非零數w，然後增加第4個分量w；如果把一個齊次座標轉換成普通座標，把前三個座標同時除以第4個座標，然後去掉第4個分量。

由於齊次座標使用了4個分量來表達3D概念，使得平移變換可以使用矩陣進行，從而如F.S. Hill, JR所說，仿射（線性）變換的進行更加方便。

由於圖形硬體已經普遍地支援齊次座標與矩陣乘法，因此更加促進了齊次座標使用，使得它似乎成為圖形學中的一個標準。

以上很好的闡釋了齊次座標的作用及運用齊次座標的好處。其實在圖形學的理論中，很多已經被封裝的好的API也是很有研究的，要想成為一名專業的計算機圖形學的學習者，除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源，從而解決問題。