定義域是實數時，同樣有一族函式滿足條件，但有些是極其複雜的，所以我們需要更多的條件得到f(x)=cx，以下條件可得f(x)是正比例函式：

◎f是連續函式，條件也可減弱為f在某點連續。

◎存在a,b∈

R,

(a<b),函式在(a,b)有界

◎f單調，或f在某開區間單調。

◎存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0

另外，如果沒有其他條件的話，（假如承認選擇公理AC成立），那麼有無窮非f(x)=cx的函式滿足該條件,這是利用哈默基的概念證明的。

幾個條件的證明

函式連續:由於函式連續，且有理數稠密，不難說明f(x)=xf(1)在x為任意實數上成立（利用有理數逼近）。

函式在區間有界,定義函式g(x)=f(x)-f(1)x,顯然g是實值函式。

由於g(x+y)=f(x+y)-f(1)(x+y)=(f(x)-f(1)x)+(f(y)-f(1)y)=g(x)+g(y)

所以g(x)也是滿足柯西函式方程的函式

因此任意q∈

Q

,我們有g(qx)=qg(x)

由於f在(a,b)上有界，那麼設界為M，即任意x∈(a,b),有|f(x)|≤M

那麼由於|x|≤max(|a|,|b|),有任意x∈(a,b),

|g(x)|=|f(x)-f(1)x|≤|f(x)|+|f(1)||x|≤M+max(|a|,|b|),即g在(a,b)有界

由於任意x不在(a,b),有有理數q，使得x-q∈(a,b),

即|g(x)|=|g(x-q)+g(q)|=|g(x-q)|同樣有界,即g(x)在

R

上有界

而若有x∈

R

,使得g(x)不為0，那麼必存在n，使得|g(nx)|=n|g(x)|趨向無窮大，矛盾。

因此g(x)=0恆成立，即f(x)=f(1)x

函式在某點連續:根據連續的定義可知，任意δ,存在ε，使得x∈(x0-δ,x0+δ),|f(x)-f(x0)|<ε,即f(x)在區間有界，化為上面的條件。

函式單調或在某區間(a,b)單調，那麼任意x∈(a,b),f(q1)<f(x)<f(q2),

其中q1<x,q2>x,將q1,q2逼近x，不難說明f(x)=xf(1)

而任意x∈

R

,存在q，使得x=qr,r∈(a,b),q∈

Q

,

同理可知成立。

函式保號保號是指：存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0。

根據對稱性我們只需證明"存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0"的情況。

任意y>x,存在n,使得e=(y-x)/n∈[0,ε1],那麼利用

f(y)-f(x)=f(y)-f(y-e)+f(y-e)-f(y-2e)+...+f(x+e)-f(x)=nf(e)>0,即可得f(x)單調，化為上面條件