(x+y)^n=x^n+C(n,1)*x^(n-1)*y+C(n,2)*x^(n-2)*y^2+.....+C(n,n)*y^n。

解：根據二項式定理，

其中 (n,k)=n!/(k!*(n-k)!)=C(n,k)。

所以(x+y)^n的展開式為，

(x+y)^n=C(n,0)*x^n*y^0+C(n,1)*x^(n-1)*y^1+C(n,2)*x^(n-2)*y^2+...+C(n,k)*x^(n-k)*y^k+...+C(n,n)*x^(n-n)*y^n

即(x+y)^n=x^n+C(n,1)x^(n-1)y+C(n,2)x^(n-2)y²+.....+C(n,n)y^n。

擴充套件資料：

二項式定理的驗證推導

當n=1時，則(a+b)^1=C(1,0)*a^1*b^0+C(1,1)*a^0*b^1=a+b。

假設二項展開式在n=m時成立。

設n=m+1，則有，

(a+b)^(m+1)=a*(a+b)^m+b*(a+b)^m

=a*(a^n+C(m,1)a^(m-1)b+.....+C(m,m)b^m)+b*(a^m+C(m,1)a^(m-1)*b+.....+C(m,m)b^m)

=a^(m+1)+C(m,1)a^m*b+.....+C(m,m)a*b^m+a^m*b+C(m,1)a^(m-1)b^2+.....+C(m,m)b^(m+1)

=C(m+1,0)*a^(m+1)+C(m+1,1)*a^m*b+C(m+1,2)*a^(m-1)*b^2+...+C(m+1,m)*a*b^n+C(m+1,m+1)b^(m+1)

因此可推知(a+b)^n=a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+.....+C(n,n)*b^n。

運用高三二項式定理。(X+Y)^n=Cn^0x^n+Cn^1x^n-1.y^1+Cn^2.x^n-2.y^2+…+Cn^n.y^n

係數是“楊輝三角”，x、y分別是降冪和升冪。

如：

(x+y)^0=1

(x+y)^1=x+y

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

第n行的m個數可表示為 C(n-1，m-1)，即為從n-1個不同元素中取m-1個元素的組合數。第n行的第m個數和第n-m+1個數相等 ，為組合數性質之一。