ƒ(x,y) = ∫(0→2x - y) e^(- t²) dt

∂ƒ/∂x = ∂(2x - y)/∂x * e^[- (2x - y)²]

= 2e^[- (2x - y)²]

2、

∫∫ e^(- x² - y²) dxdy

= ∫(0→2π) ∫(0→2) e^(- r²) rdrdθ

= θ |(0,2π) * (1/2)e^(- r²) |(0,2)

= 2π * (1/2)[e⁻⁴ - 1]

= 2(1/e⁴ - 1)π

3、兩個方法：

第一個方法.運用伽瑪函式Γ(n) = ∫(0→∞) xⁿ⁻¹e^(- x) dx,Γ(n) = (n - 1)!

∫(0→∞) x⁷e^(- x) dx

= ∫(0→∞) x⁸⁻¹e^(- x) dx

= Γ(8)

= (8 - 1)!

= 7!

第二個方法：

用分部積分法速解法,適用於x^n * e^(kx),x^n * (lnx)^k

f ,I ：x⁷ ,e^(- x) ↘+

f' ,I(1)：7x⁶ ,- e^(- x) ↘-

f'' ,I(2)：42x⁵ ,e^(- x) ↘+

f''',I(3)：210x⁴ ,- e^(- x) ↘-

f⁴ ,I(4)：840x³ ,e^(- x) ↘+

f⁵ ,I(5)：2520x²,- e^(- x) ↘-

f⁶ ,I(6)：5040x ,e^(- x) ↘+

f⁷ ,I(7)：5040 ,- e^(- x) ↘-

交叉相乘：

∫ x⁷e^(- x) dx

= - x⁷e^(- x) - 7x⁶e^(- x) - 42x⁵e^(- x) - 210x⁴e^(- x) - 840x³e^(- x) - 2520x²e^(- x) - 5040xe^(- x) - 5040e^(- x) + C

= - (x⁷ + 7x⁶ + 42x⁵ + 210x⁴ + 840x³ + 2520x² + 5040x + 5040)e^(- x) + C

∫(0→+∞) x⁷e^(- x) dx

= 5040 = 7!

4、

z = xln(xy)

∂z/∂x = ln(xy) * ∂x/∂x + x * ∂/∂x ln(xy)

= ln(xy) + x * 1/(xy) * y

= ln(xy) + 1

5、

∫(- 2→2) [xcos⁴x + √(4 - x²)] dx

= 0 + 2∫(0→2) √(4 - x²)

= 2 * (1/4)π(2)²

= 2π