證明: 必要性.因為 存在一個非零矩陣B，使得AB=O所以 B的列向量都是 AX=0 的解向量所以AX=0有非零解所以 |A| = 0.充分性.因為 |A| = 0, 所以 AX=0 有非零解 b1,...,bs令 B=(b1,...,bs)則有 AB = 0.

A的行列式不等於0，而|E|=1,|P|,|Q|不等於0,所以|A|不等於0,A可逆，

A可逆充要條件是|A|不等於0.這裡P，Q都是可逆的，所以A=P-1Q-1,A-1=QP。

因為A的行列式等於它的所有特徵值的乘積。

所以A可逆｜A｜≠0A的特徵值都不等於0。

（當矩陣行列式不為零，就可以推出伴隨陣來計算矩陣的解析式，既然都求出你陣逆陣了，原矩陣當然可逆。反過來，當原矩陣可逆時，A乘A的逆等於單位陣，兩邊取行列式，便得到行列式一定不為零。）

設M是n階方陣，I是單位矩陣，如果存在一個數λ使得M－λI是奇異矩陣（即不可逆矩陣，亦即行列式為零），那麼λ稱為M的特徵值。



擴充套件資料

矩陣可逆的必要條件：

|A|=0 的充分必要條件

<=> A不可逆 (又稱奇異)

<=> A的列(行)向量組線性相關

<=> R(A)<n

<=> AX=0 有非零解

<=> A有特徵值0。

<=> A不能表示成初等矩陣的乘積

<=> A的等價標準形不是單位矩陣|A|≠0的充分必要條件

<=> A可逆 (又非奇異)

<=> 存在同階方陣B滿足 AB = E (或 BA=E)

<=> R(A)=n<=> R(A*)=n

<=> |A*|≠0<=> A的列(行)向量組線性無關。

<=> AX=0 僅有零解<=> AX=b 有唯一解。

<=> 任一n維向量都可由A的列向量組唯一線性表示。

<=> A可表示成初等矩陣的乘積。

<=> A的等價標準形是單位矩陣。

<=> A的行最簡形是單位矩陣。

<=> A的特徵值都不等於0。

<=> A^TA是正定矩陣。

因為矩陣的行列式等於所有特徵值的乘積。可逆矩陣的行列式不等於零，特徵值不等於零。矩陣A為n階方陣，若存在n階矩陣B，使得矩陣A，B的乘積為單位陣，則稱A為可逆陣，B為A的逆矩陣。

可逆矩陣一定是方陣。

如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。

可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆，並且（AT）-1=（A-1）T(轉置的逆等於逆的轉置）。

若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。

兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。