換元充要條件是原函式單調可導，且不要忘記計算完後回代
把複合函式的微分法反過來用於求不定積分，利用中間變數的代換，得到複合函式的積分法，稱為換元積分法，簡稱換元法，換元法通常分為兩類：
第一類換元法：
設f(u)具有原函式F(U)，即。
F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。
如果u是中間變數,u=φ(x)，且設φ(x)可微，那麼，根據複合函式微分法有：
dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。
從而根據不定積分的定義就得：
∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
於是有下述定理：
定理1：設f(u)具有原函式，u=φ(x)可導，則有換元公式：
∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。
將所求積分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是湊微分過程，然後就是換元，也就是將積分變數x換成u；最後是求原函式，實際上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。
而∫f(u)du好求，所以先求出後一個不定積分；最後再將變數u換成x。當熟練掌握這一方法後，可以不必引入變數u。
由此定理可見，雖然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一個整體的記號，但從形式上看，被積表示式中的dx也可當作變數x的微分來對待，從而微分來對待。
從而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地應用到被積表示式中來，我們在上節第一題目中已經這樣用了，那裡把積分∫F'(x)dx,記作∫dF(x)，就是按微分F'(x)dx=dF(x)，把被積表示式F'(x)dx。記作dF(x)
設要求∫g(x)dx，如果函式g(x)可以化為g(x)=f[φ(x)]φ'(x)的形式，那麼：
∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
這樣，函式g(x)的積分即轉化為函式f(u)的積分，如果能求得f(u)的原函式，那麼也就得到了g(x)的原函式。
第二類換元法：
上面介紹的第一類換元法是透過變數代換u=φ(x),將積分∫f[φ(x)]φ'(x)dx化為積分∫f(u)du。
下面將介紹的第二類換元法是，適當地選擇變數代換x=φ(t),將積分∫f(x)dx化為積分，∫f[φ(t)]φ'(t)dt，這是另一種形式的變數代換，換元公式可表達為：
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt。
這公式的成立是需要一定條件的，首先，等式右邊的不定積分要存在，即∫f[φ(t)]φ'(t)dt有原函式；其次，∫f[φ(t)]φ'(t)dt求出後必須用x=φ(t)的反函式t=φ^(-1)(x)代回去。
為了保證這反函式存在而且是可導的，我們假定直接函式x=φ(t)在t的某一個區間(這區間和所考慮的x的積分割槽間相對應)上是單調的，可導的，並且φ'(t)=0。
歸納上述，給出下面的定理：
定理2 設x=φ(t)是單調的，可導的函式，並且φ'(t)≠0.又設f[φ(t)]φ'(t)具有原函式，則有換元公式。
∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))(2)。
其中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函式。
注意：與第一類換元積分法相反，第二類換元積分法就是由於積分∫f(x)dx不便計算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。關鍵是：如何選擇變數替換。
換元充要條件是原函式單調可導，且不要忘記計算完後回代
把複合函式的微分法反過來用於求不定積分，利用中間變數的代換，得到複合函式的積分法，稱為換元積分法，簡稱換元法，換元法通常分為兩類：
第一類換元法：
設f(u)具有原函式F(U)，即。
F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。
如果u是中間變數,u=φ(x)，且設φ(x)可微，那麼，根據複合函式微分法有：
dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。
從而根據不定積分的定義就得：
∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
於是有下述定理：
定理1：設f(u)具有原函式，u=φ(x)可導，則有換元公式：
∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。
將所求積分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是湊微分過程，然後就是換元，也就是將積分變數x換成u；最後是求原函式，實際上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。
而∫f(u)du好求，所以先求出後一個不定積分；最後再將變數u換成x。當熟練掌握這一方法後，可以不必引入變數u。
由此定理可見，雖然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一個整體的記號，但從形式上看，被積表示式中的dx也可當作變數x的微分來對待，從而微分來對待。
從而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地應用到被積表示式中來，我們在上節第一題目中已經這樣用了，那裡把積分∫F'(x)dx,記作∫dF(x)，就是按微分F'(x)dx=dF(x)，把被積表示式F'(x)dx。記作dF(x)
設要求∫g(x)dx，如果函式g(x)可以化為g(x)=f[φ(x)]φ'(x)的形式，那麼：
∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。
這樣，函式g(x)的積分即轉化為函式f(u)的積分，如果能求得f(u)的原函式，那麼也就得到了g(x)的原函式。
第二類換元法：
上面介紹的第一類換元法是透過變數代換u=φ(x),將積分∫f[φ(x)]φ'(x)dx化為積分∫f(u)du。
下面將介紹的第二類換元法是，適當地選擇變數代換x=φ(t),將積分∫f(x)dx化為積分，∫f[φ(t)]φ'(t)dt，這是另一種形式的變數代換，換元公式可表達為：
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt。
這公式的成立是需要一定條件的，首先，等式右邊的不定積分要存在，即∫f[φ(t)]φ'(t)dt有原函式；其次，∫f[φ(t)]φ'(t)dt求出後必須用x=φ(t)的反函式t=φ^(-1)(x)代回去。
為了保證這反函式存在而且是可導的，我們假定直接函式x=φ(t)在t的某一個區間(這區間和所考慮的x的積分割槽間相對應)上是單調的，可導的，並且φ'(t)=0。
歸納上述，給出下面的定理：
定理2 設x=φ(t)是單調的，可導的函式，並且φ'(t)≠0.又設f[φ(t)]φ'(t)具有原函式，則有換元公式。
∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))(2)。
其中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函式。
注意：與第一類換元積分法相反，第二類換元積分法就是由於積分∫f(x)dx不便計算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。關鍵是：如何選擇變數替換。