由定義,f（x）＝arctanx 的麥克老林公式中，x^n的係數是：f（n）（0） / n!,f（n）（0）表示在x＝0處的n階導數。

另一方面,f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n）,所以,f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1）

比較兩個表示式中x^n的係數,得：

當n為偶數時，f（x）在x＝0處的n階導數是0；

當n為奇數時，設n＝2m＋1,f（x）在x＝0處的n階導數是：（－1）^m× （2m）!

擴充套件資料：

計算

相關計算公式如下：

求高階導數是泰勒公式，或者冪級數的一個主要應用。

主要是利用表示式的唯一性。

一方面，由定義，f（x）＝arctanx的麥克老林公式中，x^n的係數是：f（n）（0）/n！，f（n）（0）表示在x＝0處的n階導數。

另一方面，f'（x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），所以，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/（2n＋1）

比較兩個表示式中x^n的係數，得：

當n為偶數時，f（x）在x＝0處的n階導數是0；

當n為奇數時，設n＝2m＋1，f（x）在x＝0處的n階導數是：（－1）^m×（2m）！

arctanx的導數是1/1+x²，設y=arctanx,則x=tany，因為arctanx′=1／tany′，且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y，則arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

arctanx（即Arctangent）指反正切函式。反函式與原函式關於y=x的對稱點的導數互為倒數。設原函式為y=f(x)，則其反函式在y點的導數與f'(x)互為倒數（即原函式，前提要f'(x)存在且不為0）。

反正切函式arctanx的導數

(arctanx)'=1/(1+x^2)

函式y=tanx,（x不等於kπ+π/2,k∈Z）的反函式，記作x=arctany，叫做反正切函式。其值域為（-π/2,π/2）。反正切函式是反三角函式的一種。

反正切函式arctanx的求導過程

設y=arctanx

則x=tany

因為arctanx′=1／tany′

且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y

則arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

所以arctanx的導數是1/1+x²。

其他常用公式

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)