1-根號下cosx，不能化為二分之一x，在x趨於0時，且相乘關係下，可化為四分之一x的平方。

你可以自己用泰勒公式推導一下，無窮小的等價關係都可以由泰勒公式推匯出來，用泰勒公式求極限也是必須掌握的重要方法。

其實碰到1-根號下cosx可以上下同乘以1+根號下cosx。補充： 1：為什麼1-cosx可以化為二分之一的x平方。cosx=1-1/2x^2+o(x^2) 1-cosx=1/2x^2+o(x^2);其中o(x^2)為x平方的高階無窮小。

所以在x趨於0的時候，1-cosx等價於二分之一x的平方。2：為什麼在x趨於0時且在相乘關係中可以將1-根號下cosx化簡為四分之一x的平方。

在x趨於0時: 1-根號下cosx =(1-cosx)/（1+根號下cosx） =1-cosx/2 =1/4x^

2 注：在相加關係中不可以使用等價無窮小替換，要使用泰勒公式。

因為當x趨近於0時，1-cos根號x=x/2

所以當x趨近於0時，f(x)=[1-cos根號x]/根號x=（x/2）/x=1/2

值域是 [0，√2]

利用公式：cos2a=2cos²a-1 同時cos2a=1-2sin²a

所以：

f(x)=|√(1＋cosx)-√(1－cosx)|

=|√[1＋2cos²(x/2)-1]-√[1-1+2sin²(x/2)]|

=|√[2cos²(x/2)]-√[2sin²(x/2)]|

=|√2|cosx/2|-√2|sinx/2||

而0≤x≤π，則0≤x/2≤π/2

所以sinx/2≥0 且cosx/2≥0

所以:

f(x)=|√2cosx/2-√2sinx/2|

=√2*√2|√2/2cosx/2-√2/2sinx/2|

=2|cosπ/4cosx/2-sinπ/4*sinx/2|

=2|cos(x/2+π/4)|

由於0≤x/2≤π/2，則π/4≤x/2+π/4≤3/4π

①當0≤x/2≤π/4時，π/4≤x/2+π/4≤π/2

所以 0≤cos(x/2+π/4)≤√2/2

則0≤|cos(x/2+π/4)|≤√2/2

得到：0≤2|cos(x/2+π/4)|≤√2

即0≤f(x)≤√2

②當π/4≤x/2≤π/2時，π/2≤x/2+π/4≤3/4π

所以 -√2/2≤cos(x/2+π/4)≤0

則0≤|cos(x/2+π/4)|≤√2/2

得到：0≤2|cos(x/2+π/4)|≤√2

即0≤f(x)≤√2

綜合得到：0≤f(x)≤√2

即值域為[0，√2]