三角函式和差化積公式推導過程

1和差化積公式

sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

tAnA+tAnB=sin(A+B)/cosAcosB=tAn(A+B)(1-tAnAtAnB)

tAnA-tAnB=sin(A-B)/cosAcosB=tAn(A-B)(1+tAnAtAnB)

2和差化積公式推導過程

首先，我們知道sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB，sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB

我們把兩式相加就得到sin(A+B)+sin(A-B)=2sinA*cosB

所以，sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

同理，若把兩式相減，就得到cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

同樣的，我們還知道cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB，cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB

所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(A+B)+cos(A-B)=2cosA*cosB

所以我們就得到，cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

同理，兩式相減我們就得到sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

這樣，我們就得到了積化和差的四個公式：

sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

有了積化和差的四個公式以後，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式.

我們把上述四個公式中的A+B設為A，A-B設為B，那麼A=(A+B)/2，B=(A-B)/2

把A，B分別用A，B表示就可以得到和差化積的四個公式：

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

sinA-sinB=2cos((A+B)/2)*sin((A-B)/2)

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)*sin((A-B)/2)

3三角函式積化和差公式

sinAcosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

cosAsinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

cosAcosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

sinAsinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2