例函式定義 形如函式y=k/x（k為常數且k≠0）叫做反比例函式，其中k叫做比例係數，x是自變數，y是自變數x的函式，x的取值範圍是不等於0的一切實數。編輯本段反比例函式表示式 x是自變數，y是x的函式 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） （即：y等於x的負一次方，此處x必須為一次方） y=k/x(k為常數且k≠0，x≠0） 若y=k/nx此時比例係數為：k/n編輯本段自變數的取值範圍 ① 在一般的情況下 , 自變數 x 的取值範圍可以是 不等於0的任意實數；②函式 y 的取值範圍也是任意非零實數。 解析式 y=k/x 其中x是自變數，y是x的函式，其定義域是不等於0的一切實數 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） y=k\x(k為常數(k≠0），x不等於0）編輯本段反比例函式圖象 反比例函式的影象屬於以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線（hyperbola）, 反比例函式影象中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與座標軸相交（y≠0）。編輯本段k的意義及應用 過反比例函式y=k/x（k≠0），影象上一點P（x,y），作兩座標軸的垂線，兩垂足、原點、P點組成一個矩形，矩形的面積 S=x的絕對值*y的絕對值=（x*y）的絕對值=|k| 研究函式問題要透視函式的本質特徵。反比例函式中，比例係數k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函式圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。從而有k的絕對值。在解有關反比例函式的問題時，若能靈活運用反比例函式中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。編輯本段反比例函式性質單調性 當k>0時，圖象分別位於第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減小； 當k0時，函式在x0上同為減函式；k0上同為增函式。相交性 因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函式的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。面積 在一個反比例函式圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與座標軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1=S2=|K| 反比例上一點m向x、y分別做垂線，交於q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k|影象 反比例函式的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是座標原點。 反比例函式影象不與x軸和y軸相交。y=k/x的漸近線：x軸與y軸。 k值相等的反比例函式重合，k值不相等的反比例函式永不相交。 k|越大，反比例函式的圖象離座標軸的距離越遠。對稱性 反比例函式圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函式的影象也是軸對稱圖形，它的對稱軸是x軸和y軸夾角的角平分線。 影象關於原點對稱。若設正比例函式y=mx與反比例函式y=n/x交於A、B兩點（m、n同號），那麼A B兩點關於原點對稱。 反比例函式關於正比例函式y=x,y=-x軸對稱,並且關於原點中心對稱。與正比例函式交點 設在平面內有反比例函式y=k/x和一次函式y=mx+n，要使它們有公共交點，則n^2+4k·m≥（不小於）0。編輯本段反比例函式的應用舉例 【例1】反比例函式 的圖象上有一點P（m, n）其座標是關於t的一元二次方程t^2+3t+k=0的兩根，且P到原點的距離為根號13，求該反比例函式的解析式． 分析： 要求反比例函式解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關於k的方程． 解：∵ m, n是關於t的方程t^2+3t+k=0的兩根 ∴ m+n=-3，mn=k, 又 PO=根號13， 反比例函式圖象 ∴m^2+n^2=13， ∴(m+n^2-2mn=13， ∴ 9-2k=13． ∴ k=-2 當 k=-2時，△=9+2>0， ∴ k=-2符合條件， 【例2】直線與位於第二象限的雙曲線 相交於A、A1兩點，過其中一點A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求： （1）求雙曲線的解析式 分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點到x軸和y軸的垂線段， 設A點座標為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|， 根據矩形的面積公式知|m·n|=6.編輯本段畫法 1）列表 如 x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ... y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ... 2)在平面直角座標系中標出點 3）用平滑的曲線描出點 常見畫法 1.當雙曲線在一三象限，K>0，在每個象限內，Y隨X的增大而減小。與X及Y軸無交點。 2.當雙曲線在二四象限，K0 所以k0) 矩形的各邊長均為整數 可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24
例函式定義 形如函式y=k/x（k為常數且k≠0）叫做反比例函式，其中k叫做比例係數，x是自變數，y是自變數x的函式，x的取值範圍是不等於0的一切實數。編輯本段反比例函式表示式 x是自變數，y是x的函式 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） （即：y等於x的負一次方，此處x必須為一次方） y=k/x(k為常數且k≠0，x≠0） 若y=k/nx此時比例係數為：k/n編輯本段自變數的取值範圍 ① 在一般的情況下 , 自變數 x 的取值範圍可以是 不等於0的任意實數；②函式 y 的取值範圍也是任意非零實數。 解析式 y=k/x 其中x是自變數，y是x的函式，其定義域是不等於0的一切實數 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^（-1） y=k\x(k為常數(k≠0），x不等於0）編輯本段反比例函式圖象 反比例函式的影象屬於以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線（hyperbola）, 反比例函式影象中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與座標軸相交（y≠0）。編輯本段k的意義及應用 過反比例函式y=k/x（k≠0），影象上一點P（x,y），作兩座標軸的垂線，兩垂足、原點、P點組成一個矩形，矩形的面積 S=x的絕對值*y的絕對值=（x*y）的絕對值=|k| 研究函式問題要透視函式的本質特徵。反比例函式中，比例係數k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函式圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。 所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。從而有k的絕對值。在解有關反比例函式的問題時，若能靈活運用反比例函式中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。編輯本段反比例函式性質單調性 當k>0時，圖象分別位於第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減小； 當k0時，函式在x0上同為減函式；k0上同為增函式。相交性 因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函式的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。面積 在一個反比例函式圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與座標軸圍成的矩形面積為S1，S2則S1=S2=|K| 反比例上一點m向x、y分別做垂線，交於q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k|影象 反比例函式的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是座標原點。 反比例函式影象不與x軸和y軸相交。y=k/x的漸近線：x軸與y軸。 k值相等的反比例函式重合，k值不相等的反比例函式永不相交。 k|越大，反比例函式的圖象離座標軸的距離越遠。對稱性 反比例函式圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函式的影象也是軸對稱圖形，它的對稱軸是x軸和y軸夾角的角平分線。 影象關於原點對稱。若設正比例函式y=mx與反比例函式y=n/x交於A、B兩點（m、n同號），那麼A B兩點關於原點對稱。 反比例函式關於正比例函式y=x,y=-x軸對稱,並且關於原點中心對稱。與正比例函式交點 設在平面內有反比例函式y=k/x和一次函式y=mx+n，要使它們有公共交點，則n^2+4k·m≥（不小於）0。編輯本段反比例函式的應用舉例 【例1】反比例函式 的圖象上有一點P（m, n）其座標是關於t的一元二次方程t^2+3t+k=0的兩根，且P到原點的距離為根號13，求該反比例函式的解析式． 分析： 要求反比例函式解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關於k的方程． 解：∵ m, n是關於t的方程t^2+3t+k=0的兩根 ∴ m+n=-3，mn=k, 又 PO=根號13， 反比例函式圖象 ∴m^2+n^2=13， ∴(m+n^2-2mn=13， ∴ 9-2k=13． ∴ k=-2 當 k=-2時，△=9+2>0， ∴ k=-2符合條件， 【例2】直線與位於第二象限的雙曲線 相交於A、A1兩點，過其中一點A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求： （1）求雙曲線的解析式 分析：矩形ABOC的邊AB和AC分別是A點到x軸和y軸的垂線段， 設A點座標為（m,n），則AB=|n|, AC=|m|， 根據矩形的面積公式知|m·n|=6.編輯本段畫法 1）列表 如 x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ... y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ... 2)在平面直角座標系中標出點 3）用平滑的曲線描出點 常見畫法 1.當雙曲線在一三象限，K>0，在每個象限內，Y隨X的增大而減小。與X及Y軸無交點。 2.當雙曲線在二四象限，K0 所以k0) 矩形的各邊長均為整數 可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24