萬能公式推導
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)],
(因為cos2(α)+sin2(α)=1)
再把分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]
然後用α/2代替α即可。
同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可透過正弦比餘弦得到。
2和差化積公式推導過程
首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
同理,若把兩式相減,就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
同理,兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
這樣,我們就得到了積化和差的公式:
cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
有了積化和差的四個公式以後,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式
我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那麼a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
3三倍角公式推導
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]
上下同除以cos3(α),得:
tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)
=3sinα-4sin3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)
=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]
=4cos3(α)-3cosα
即:
sin3α=3sinα-4sin3(α)
cos3α=4cos3(α)-3cosα
4n倍角三角函式公式的推導
利用尤拉公式推導
事實上,對於任意n倍角三角函式公式還可以由尤拉公式推導:
cosnA+isinnA=einA=e(iA)n=(cosA+isinA)n
分別由左右兩邊實部和虛部相等,可以推匯出n倍角餘弦和正弦三角函式公式。以三倍角餘弦公式為例,cos3A=C(30)cos3A-C(32)sin2AcosA=cos3A-3sin2AcosA=4cos3A-3cosA
其餘的任意n倍角三角函式公式(包括正弦、餘弦、正切)則都可以由二項式定理相應地寫出來。
萬能公式推導
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)],
(因為cos2(α)+sin2(α)=1)
再把分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]
然後用α/2代替α即可。
同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可透過正弦比餘弦得到。
2和差化積公式推導過程
首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
同理,若把兩式相減,就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb
同理,兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
這樣,我們就得到了積化和差的公式:
cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
有了積化和差的四個公式以後,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式
我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那麼a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]
3三倍角公式推導
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]
上下同除以cos3(α),得:
tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)
=3sinα-4sin3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)
=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]
=4cos3(α)-3cosα
即:
sin3α=3sinα-4sin3(α)
cos3α=4cos3(α)-3cosα
4n倍角三角函式公式的推導
利用尤拉公式推導
事實上,對於任意n倍角三角函式公式還可以由尤拉公式推導:
cosnA+isinnA=einA=e(iA)n=(cosA+isinA)n
分別由左右兩邊實部和虛部相等,可以推匯出n倍角餘弦和正弦三角函式公式。以三倍角餘弦公式為例,cos3A=C(30)cos3A-C(32)sin2AcosA=cos3A-3sin2AcosA=4cos3A-3cosA
其餘的任意n倍角三角函式公式(包括正弦、餘弦、正切)則都可以由二項式定理相應地寫出來。