由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法：

1.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特徵值全是正數。

證明：若 ， 則有

∴λ＞0

反之，必存在U使

即

有

這就證明了A正定。

由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是：A的特徵值全部非負。

2．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同於單位矩陣E。

證明：A正定

二次型 正定

A的正慣性指數為n

3．n階對稱矩陣A正定（半正定）的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ；進一步有 （B為正定（半正定）矩陣）。

證明：n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使

令 則

令 則

反之，

∴A正定。

同理可證A為半正定時的情況。

4．n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 ，且 。

證明：（1）∵n階對稱矩陣A正定

∴ 是正定二次型

現取一組不全為0 的數0,…,0,1,0…0(其中第I個數為1)代入，有

∴

∴A正定

∴存在可逆矩陣C ，使

5．n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是：A的 n 個順序主子式全大於零。

證明：必要性：

設二次型 是正定的

對每個k,k=1,2,…,n,令

，

現證 是一個k元二次型。

∵對任意k個不全為零的實數 ，有

∴ 是正定的

∴ 的矩陣

是正定矩陣

即

即A的順序主子式全大於零。

充分性：

對n作數學歸納法

當n=1時，

∵ ， 顯然 是正定的。

假設對n-1元實二次型結論成立，現在證明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分塊寫成

∵A的順序主子式全大於零

∴ 的順序主子式也全大於零

由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使

令

∴

再令 ，

有

令 ，

就有

兩邊取行列式，則

由條件 得a＞0

顯然

即A合同於E ，

∴A是正定的。

三． 負定矩陣的一些判別方法

1．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數為n。

2．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特徵值全小於零。

3．n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足，即奇數階順序主子式全小於零，偶數階順序主子式全大於零。

由於A是負定的當且僅當-A是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。