首先函式在一點處的導數和在該點處導函式的極限是兩個不同的概念，前者是直接用導數定義求得，後者是利用求導公式求出導函式的表示式後再求該點處的極限，兩者完全可以不相等。
例如f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0處的導數等於0，但其導函式在x=0處的極限不存在。但是在相當普遍的情況下，二者又是相等的，這個事實的本質上就是由導數極限定理所保證的。
導數極限定理是說：如果f(x)在x0的某領域內連續，在x0的去心鄰域內可導，且導函式在x0處的極限存在（等於a），則f(x)在x0處的導數也存在並且等於a。
這個定理的重要之處在於，不事先要求f在x0處可導，而根據導函式的極限存在就能推出在該點可導，也就是說，導函式如果在某點極限存在，那麼在該點導函式一定是連續的，而這正是一般函式所不具備的性質。
擴充套件資料：
1.利用函式的連續性求函式的極限（直接帶入即可）
如果是初等函式，且點在的定義區間內，那麼，因此計算當時的極限，只要計算對應的函式值就可以了。

2.利用有理化分子或分母求函式的極限
a.若含有，一般利用去根號
b.若含有，一般利用，去根號
3.利用兩個重要極限求函式的極限
4.利用無窮小的性質求函式的極限
性質1：有界函式與無窮小的乘積是無窮小
性質2：常數與無窮小的乘積是無窮小
性質3：有限個無窮小相加、相減及相乘仍舊無窮小
5.分段函式的極限
求分段函式的極限的充要條件是:
6.利用抓大頭準則求函式的極限
其中為非負整數.
7.利用洛必達法則求函式的極限
（可向，轉換）
對於未定式“ ”型，“ ”型的極限計算，洛必達法則是比較簡單快捷的方法。
8.利用定積分的定義求函式的極限
利用公式：
導數的求導法則
由基本函式的和、差、積、商或相互複合構成的函式的導函式則可以透過函式的求導法則來推導。基本的求導法則如下：
1、求導的線性：對函式的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合（即①式）。
2、兩個函式的乘積的導函式：一導乘二+一乘二導（即②式）。
3、兩個函式的商的導函式也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方（即③式）。
4、如果有複合函式，則用鏈式法則求導。
注意：
1、f'（x）<0是f（x）為減函式的充分不必要條件，不是充要條件。
2、導數為零的點不一定是極值點。當函式為常值函式，沒有增減性，即沒有極值點。但導數為零。（導數為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側的導數的符號相反，則該點為極值點，否則為一般的駐點，如
中f'（0）=0，x=0的左右導數符號為正，該點為一般駐點。）
求導方法（定義法）：
①求函式的增量
；
②求平均變化率；
③取極限，得導數。
首先函式在一點處的導數和在該點處導函式的極限是兩個不同的概念，前者是直接用導數定義求得，後者是利用求導公式求出導函式的表示式後再求該點處的極限，兩者完全可以不相等。
例如f(x)=x^2*sin(1/x)在x=0處的導數等於0，但其導函式在x=0處的極限不存在。但是在相當普遍的情況下，二者又是相等的，這個事實的本質上就是由導數極限定理所保證的。
導數極限定理是說：如果f(x)在x0的某領域內連續，在x0的去心鄰域內可導，且導函式在x0處的極限存在（等於a），則f(x)在x0處的導數也存在並且等於a。
這個定理的重要之處在於，不事先要求f在x0處可導，而根據導函式的極限存在就能推出在該點可導，也就是說，導函式如果在某點極限存在，那麼在該點導函式一定是連續的，而這正是一般函式所不具備的性質。
擴充套件資料：
1.利用函式的連續性求函式的極限（直接帶入即可）
如果是初等函式，且點在的定義區間內，那麼，因此計算當時的極限，只要計算對應的函式值就可以了。

2.利用有理化分子或分母求函式的極限
a.若含有，一般利用去根號

b.若含有，一般利用，去根號

3.利用兩個重要極限求函式的極限


4.利用無窮小的性質求函式的極限
性質1：有界函式與無窮小的乘積是無窮小
性質2：常數與無窮小的乘積是無窮小
性質3：有限個無窮小相加、相減及相乘仍舊無窮小

5.分段函式的極限
求分段函式的極限的充要條件是:

6.利用抓大頭準則求函式的極限

其中為非負整數.

7.利用洛必達法則求函式的極限
（可向，轉換）
對於未定式“ ”型，“ ”型的極限計算，洛必達法則是比較簡單快捷的方法。

8.利用定積分的定義求函式的極限
利用公式：

導數的求導法則
由基本函式的和、差、積、商或相互複合構成的函式的導函式則可以透過函式的求導法則來推導。基本的求導法則如下：
1、求導的線性：對函式的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合（即①式）。
2、兩個函式的乘積的導函式：一導乘二+一乘二導（即②式）。
3、兩個函式的商的導函式也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方（即③式）。
4、如果有複合函式，則用鏈式法則求導。
注意：
1、f'（x）<0是f（x）為減函式的充分不必要條件，不是充要條件。
2、導數為零的點不一定是極值點。當函式為常值函式，沒有增減性，即沒有極值點。但導數為零。（導數為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側的導數的符號相反，則該點為極值點，否則為一般的駐點，如

中f'（0）=0，x=0的左右導數符號為正，該點為一般駐點。）
求導方法（定義法）：
①求函式的增量

；
②求平均變化率；
③取極限，得導數。