固定流體微元內質量變化率=流體從笛卡爾座標三個方向流出量

因此可得：

質量變化率:

則：

連續性方程：

用散度表示則可得到：

對於不可壓縮流體，其密度為一常數，因此可以得到：

動量方程（納維-斯托克斯方程）

根據牛頓第二定律可以得出：F=ma；

因此：對於流體微元：

方程式的左邊：F=表面力+體積力

方程式的右邊，當僅考慮x方向的作用力時：

回到方程式的左邊：

體積力可以表示為：

表面力可以表示為流體微元在x方向所有正應力和切應力之和，其表示式如下所示：

整理可得：

將體積力表示式、表面力表示式和方程右邊表示式帶入牛頓第二定律表示式中可得：

化簡可得：

同理可得y方向和z方向的兩個方程：

因此可以得到動量守恆方程的非守恆形式：

//註釋：

所謂守恆形式和非守恆形式的區別如下：

如果方程可以寫成控制方程通用形式：，即其對流項均採用散度形式表示的形式，這種控制方程的形式稱為控制方程的守恆形式，這種方程稱為守恆型的控制方程。從微元體的角度考慮，守恆型控制方程等價於非守恆型控制方程，但是在計算一些特殊流場時，守恆型方程和非守恆型控制方程有較大的區別。根據《數值傳熱學》的描述，在計算激波時，守恆型方程計算結果光滑而穩定，而非守恆型控制方程會引起數值計算結果的震盪，造成錯誤。並且只有守恆型控制方程才能在計算有限大小控制容積內部所研究的物理量時守恆定律仍然得到滿足。（總結自陶文銓《數值傳熱學》（第二版））

因此，需要透過上述方程繼續推導方程的守恆形式：

以x方向為例：

根據：

可得：

將該式子帶入上式子：

根據標量與向量的乘積的散度的向量恆等式：

將該式子帶入非守恆動量方程表示式得：

同理可得：

因此方程的守恆形式為:

能量守恆方程：

能量守恆方程可以表示為如下形式：

流體微團內能變化率=流入微團的淨熱流量+體積力和表面力對流體微團的做功的功率

因此，體積力和表面力對流體微團的做功的功率可以表示為：P=Fv

根據動量守恆方程中體積力的描述：體積力=

體積力對流體微元的做功可以表示為：

根據動量守恆方程中表面力的描述：

根據表面力做功的功率為：

體積力和表面力做功之和為：

流入微團的淨熱流量：

微團的體積加熱為：

熱傳導引起的熱量變化為：

流入微團的淨熱流量=

根據傅立葉熱傳導定律：

流體微團內能變化率=

能量守恆方程非守恆形式：

根據動量守恆方程：

可得：

整理得：

將上式子代入