1、1到N的平方和推導：1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

由1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）

a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1

......

a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1

等式兩邊相加：

（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。。。+n²）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1）

3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1）

3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1²+2²+3²+。。。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)

=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]

=n(n+1)(2n+1)

∴1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

2、1到N的立方和推導:1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

推導： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把這n個等式兩端分別相加,得：

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　

代人上式整理後得：

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

立方差公式及其推導

　　立方差公式也是數學中常用公式之一，在高中數學中接觸該公式，且在數學研究中該式佔有很重要的地位，甚至在高等數學、微積分中也經常用到。兩個數的立方差，可以分解為一次多項式和二次多項式的乘積。

　　因式分解思想推導

　　a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b

　　=a^2（a+b）-b（a^2-b^2）=a^2（a+b）-b（a+b）（a-b）

　　=（a+b）[a^2-b（a-b）]=（a+b）（a^2-ab+b^2）

　　從正面推導的話，可以選用新增項的方法，

　　如

　　a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）

　　=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）

　　a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）

　　=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）

　　迭代法

　　我們知道：

　　0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

　　1次方和的求和公式ΣN^1=N（N+1）/2 即1^1+2^1+...+n^1=n（n+1）/2

　　2次方和的求和公式ΣN^2=N（N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同種方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

　　取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

　　係數可由楊輝三角形來確定，

　　那麼就得出：

　　（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

　　N^4-（N-1）^4=4（N-1）^3+6（N-1）^2+4（N-1）+1…………⑵

　　（N-1）^4-（N-2）^4=4（N-2）^3+6（N-2）^2+4（N-2）+1…………⑶

　　…………

　　2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n）

　　於是⑴+⑵+⑶+……+（n）有

　　左邊=（N+1）^4-1

　　右邊=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N）+N

　　所以：

　　把以上這已經證得的三個公式代入，

　　4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N）+N=（N+1）^4-1

　　得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N（N+1）（2N+1）+2N（N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

　　移項後得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 （N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N）

　　等號右側合併同類項後得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 （N^4+2N^3+N^2）

　　即

　　1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N（N+1）]^2。

　　拓展閱讀：學好數學的方法技巧

　　做好預習

　　單元預習時粗讀，瞭解近階段的學習內容，課時預習時細讀，注重知識的形成過程，對難以理解的概念、公式和法則等要做好記錄，以便帶著問題聽課。

　　認真聽課

　　聽課應包括聽、思、記三個方面。聽，聽知識形成的來龍去脈，聽重點和難點，聽例題的解法和要求。思，一是要善於聯想、類比和歸納，二是要敢於質疑，提出問題。記，指課堂筆記——記方法，記疑點，記要求，記注意點。

　　認真解題

　　課堂練習是最及時最直接的反饋，一定不能錯過。不要急於完成作業，要先看看你的筆記本，回顧學習內容，加深理解，強化記憶。

　　及時糾錯

　　課堂練習、作業、檢測，反饋後要及時查閱，分析錯題的原因，必要時強化相關計算的`訓練。不明白的問題要及時向同學和老師請教了，不能將問題處於懸而未解的狀態，養成今日事今日畢的好習慣。

　　學會總結

　　“數學一環扣一環，知識間的聯絡非常緊密，階段性總結，不僅能夠起到複習鞏固的作用，還能找到知識間的聯絡，做到了然於心，融會貫通。

　　學會管理

　　管理好自己的筆記本，作業本，糾錯本，還有做過的所有練習卷和測試卷。馮老師稱，這可是大考複習時最有用的資料，千萬不可疏忽。

　　舉一反三，綜合運用

　　有的人說，一看到最後一道題就頭大，不是說很難下手。而是你沒有學會綜合運用，數學的簡答題都是運用好多知識才能解答，並不是只有一種知識點。所以大家一定要多加練習，把數學中的零散知識點真正學會，當你再遇到最後一道題時候，真正的會想到從哪裡入手。之所以你不會做，就是還有知識點你沒學會，沒記牢固。因此大家透過我的簡單介紹，相信以後對學習數學不會再偷懶了吧。